Коэффициент "" Кендалла

Рассмотрим оценивание одного и того же множества объектов по двум признакам:и.Требуетсяопределить силу связи между оценками. Использование коэффициента корреляции Спирмена было бы правильным решением данной задачи, однако, оно имеет недостаток. При вычислении мы должны были находить разность между значениями рангов, но в ряде случаев эта операция бессмысленна (например, разность между 1-м и 2-м местами на соревнованиях не соответствует разности между 16-м и 17-м местами).

Этого недостатка лишен коэффициент ранговой корреляции Кендалла ("" Кендалла). Он отвечает всем свойствам меры связи двух оценок, сформулированных выше для коэффициента корреляции Спирмена, и опирается на идею согласованных и несогласованных пар.

Два объекта называются:

• согласованными, если

• несогласованными, если

.

Здесь и далее мы считаем, что в наших ранжированных рядах оценок нет распределенных рангов.

Если между иесть идеальная положительная связь, то все пары согласованны. Соответственно, если междуиесть идеально отрицательная связь, то все пары несогласованны.

Если связи нет, то количество согласованных и несогласованных пар должно быть одинаково. На этой идее построена статистика Кендалла. Для ее вычисления используются индикаторы, равные между собой:

Тогда получим следующие эквивалентные варианты вычислений.

1) Для :

- это точное значение, т.е. доля согласованных пар минус доля несогласованных. Оценка коэффициента равна

Если все пары согласованы, то . Если же все пары несогласованны, то.

2) Для :- точное значение. Оценка коэффициента равна:.

3) Для .- точное значение. Оценка коэффициента равна:.

Задача 2. Определить с помощью коэффициентов Спирмена и Кендалла, есть ли взаимосвязь между правонарушениями и преступлениями.

№ п/п	Правонарушения (х)	Преступления (у)	По Спирмену
			Ранги по признакам		Разность рантов
			х	у	d	d2
1	38	6	1	3	2	4
2	45	5	2	2	0	0
3	59	4	3	1	2	4
4	68	8	4	5	1	1
5	75	7	5	4	1	1
6	79	10	6	6	0	0
7	93	12	7	7	0	0

Коэффициент Спирмена рассчитывается на основе получен­ных данных по следующей формуле:

. Следовательно, связь сильная.

Вычислим коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Для расчетов этого коэффициента по формуле . Предварительные расчеты представлены в таблице:

№ п/п	Правонарушения (х)	Преступления (у)	Число значений больше сопоставляемого (S1) (Для Y)	Число значений меньше сопоставляемого (S2) (Для Y)	Разность S1 – S2
1	38	6	4	2	2
2	45	5	4	1	3
3	59	4	4	0	4
4	68	8	2	1	1
5	75	7	2	0	2
6	79	10	1	0	1
7	93	12	0	0	0

Тогда . Этот коэффициент подтверждает, что связь сильная.