Решение

1)

-уравнение регрессии.

=2000-40(90/40)²=1797,5

= 220,9 - 19,1 + 67,3 – 405 + 202,5=66,6

ЕSS=TSS – RSS = 1797,5-66,6=1797,5-66,6=1730,9

Очень маленькое значение R² означает, что объем продаж () лишь на 3,7% объясняется температурой воздуха.Значит, суммы средств, потраченных на лекарство, слабо зависят от температуры воздуха.

Так как нам важна точность расчетов коэффициентов, а она связана с разбросом, то подсчитаем дисперсию коэффициентов, характеризующую разброс.

2)

По сравнению с самими оценками дисперсии не велики, поэтому можно говорить о приемлемой точности оценивания параметров.

Задача 3: Нахождение параметров регрессии на примере линейной функции.

По семи территориям Уральского региона за 2002 год известны значения двух признаков:

• - расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %;

• - среднедневная заработная плата одного работающего, руб.

Номер	Регион
1	Удмуртская респ.	68,8	45,1
2	Свердловская обл.	61,2	59
3	Башкортостан	59,9	57,2
4	Челябинская обл.	56,7	61,8
5	Пермская обл.	55	58,8
6	Курганская обл.	54,3	47,2
7	Оренбургская обл.	49,3	55,2

Задание

1. Для характеристики зависимости от рассчитать параметры следующих функций:

1.1) линейной; 1.2) степенной;

2) Оценить каждую модель через коэффициент детерминации R².

Решение

1. Линейная регрессия вида= а + b

Для определения параметров а и b линейной регрессии по исходным данным рассчитываем следующие величины:

Результаты промежуточных вычислений приведены в таблице.

1	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	51,1
2	61,2	59	3610,8	3481	3745,44	53,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	54,2
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,3
5	55	58,8	3234	3457,44	3025	55,9
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	56,2
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,9
Итого	405,2	384,3	22162,3	21338,4	23685,8
Среднее значение	57,88	54,9	3166,05	3048,34	3383,68
σ =	5,74	5,86
V(x) и V(y)	32,92	34,34

V(x) рассчитано по следующей формуле:

Рассчитаем оценки параметров регрессии:

Уравнение регрессии: = 75,24 - 0,35. По этому уравнению можно заполнить последнюю колонку в таблице, подставляя вместосоответствующие значения параметра и получая модельное значение для .

Экономическая интерпретация может быть следующая: с увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ых пункта.

График исходных данных и уравнения регрессии:

Определим коэффициент детерминации R²:

Этот коэффициент можно получить в рамках оценивания параметров регрессии на компьютере, воспользовавшись формулой: R² = ESS / TSS = 0,118

Вариация результата на 11,8 % объясняется вариацией фактора х. Это очень небольшое значение.

2. Степенная функция.

Иногда связь выражается нелинейной функцией. Очень часто применяется степенная функция при проведении эконометрических исследований. Степенными функциями являются кривые спроса и предложения, производственные функции.

Пусть задана степенная функция вида y = a*x^b*.

Проведём процедуру линеаризации путём логарифмирования обеих частей уравнения (логарифмировать можно по любому основанию): lg = lga + b * lg+ lg (можно брать и ln). После переобозначения мы будем оценивать регрессию вида: У = А + ВХ + V, где Y = lg y, A=lg a, B=b, X=lg x, V=lg .

Данные (Х и Y) представлены в таблице.

	Х	У	ХУ	У2	Х2
1	1,8376	1,6542	3,0397	3,3767	2,7363	50,5
2	1,7868	1,7709	3,1641	3,1925	3,1359	52,9
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0884	53,3
4	1,7536	1,7910	3,1406	3,0751	3,2076	54,5
5	1,7404	1,7694	3,0794	3,0289	3,1307	55,1
6	1,7348	1,6739	2,9040	3,0095	2,8021	55,4
7	1,6928	1,7419	2,9488	2,8657	3,0344	57,5
Итого	12,3234	12,1587	21,4002
Среднее значение	1,7605	1,737	3,0572	3,0993	3,0170
σ =
V(x) и V(y)	0,0018	0,0023

Рассчитаем А (или lg a) и В:

- 0,39

Получим линейное уравнение: Y= 2,42 – 0,39 X

Выполнив его потенцирование, получим:

= 10^,2,42 ^-0,39 = 263,0268^-0,39

Подставляя в данное уравнение фактические значения , получаем теоретические значения результата(последний столбец в таблице). Интерпретация коэффициентов данной модели следующая – при изменении средней заработной платы на 1 рубль расходы на продовольственные товары снижаются на 39%. Т.е. мы получили значение эластичности расходов по заработной плате.

График логарифмической регрессии на фоне исходных данных выглядит следующим образом:

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.