Элементы зонной теории твёрдых тел

Зонную теорию твёрдых тел создали в 1930 г. Блох и Бриллюэн.

При образовании тв.тел в силу ряда взаимодействий уровни энергий эл-нов разделяются в совокупность близких энергетических уровней - зон. При объединении 2-х атомов в молекулу появляются 2 вида сил: 1) кулоновсеая (эл. статическая); 2) обменное взаимодействие. Обменное взаимодействие - сила чисто квантово-механического происхождения. При объединении атомов в молекулу возникают хим. связи, в основе которых лежит эта сила. Различают 2 вида хим. связей:

1) гетерополярная (ионная) - устанавливается при объединении 2-х разнородных эл-тов.

Внешние валентные электроны связаны атомами разными силами.

2) гомеополярная (ковалентная) - возникает между однородными элементами. Эл-ные облака 2-х атомов перекрываются. За счёт этого 2 эл-на у 2-х атомов становятся общей собственность каждого атома. У 2-х объединившихся атомов возникает деформированное эл-ное облако. Это взаимодействие проявляется при условии, что спины соседних атомов антипараллельны.

У металлов над полностью заполненными нижними зонами располагается зона, заполненная электронами лишь частично, либо полностью заполненная зона перекрывается с расположенной над ней свободной (незанятой электронами) зоной. К ним относятся относятся химические элементы, атомы которых имеют незавершенные электронные слои валентных электронов, например атомы щелочных (одновалентных) металлов: Na, K и др. И также химические элементы второй группы таблицы Менделеева. Например, у магния все электронные оболочки укомплектованы полностью, однако, вследствие перекрытия некоторых зон каждая из них оказывается заполненной лишь частично.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне

Это имеет место для щелочноземельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, ...). В дан­ном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металли­ческие свойства щелочноземельных эле­ментов обусловлены перекрытием валент­ной и свободной зон.

Возможно также перераспре­деление электронов между зонами, воз­никающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна целиком за­полненная (валентная) зона и одна сво­бодная зона (зона проводимости). Твер­дые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ши­рины запрещенной зоны E.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком. Если запрещенная зона достаточно узка (порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, спо­собного передать электронам энергию E, и кристалл является полупроводником.

Задание25.

Элементы квантовой статистики. Энергия Ферми. Распределение Ферми-Дирака. Элементы квантовой статистики

Квантовая статистика — раздел статисти­ческой физики, исследующий системы, ко­торые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой меха­ники.

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в ко­торой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основыва­ется на принципе неразличимости тожде­ственных частиц. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуце­лым спинами подчиняются разным стати­стикам.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное про­странство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием 6N переменных, так как состояние каждой частицы опреде­ляется тройкой координат х, у, z и трой­кой соответствующих проекций импульса p_x, p_у, p_z. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Это 6N-мерное пространство называется фазо­вым пространством. Каждому микрососто­янию системы отвечает точка в бN-мерном фазовом пространстве, так как задание точ­ки фазового пространства означает зада­ние координат и импульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые бN-мерные элементарные ячейки объ­емом dqdp=dq₁ dq₂...dq_3N dp₁ dp₂...dp_3N, где q — совокупность координат всех частиц, р — совокупность проекций их импульсов. выводу, что объем элементарной ячейки (он на­зывается фазовым объемом) не может быть меньше чем h³ (h — постоянная Планка).

Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f (q, p):

dW=f(q,p)dqdр. (234.1)

Здесь dW—вероятность того, что точка фазового пространства попадет в эле­мент фазового объема dqdp, располо­женного вблизи данной точки q, p. Иными словами, dW представляет собой вероят­ность того, что система находится в со­стоянии, в котором ее координаты и им­пульсы заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.

Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как плот­ность вероятности определенного состоя­ния системы. ∫fq,p)dqdp=1,

Распределение Ферми — Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц за­дается с помощью так называемых чисел заполнения N_i — чисел, указывающих сте­пень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i кван­товых чисел) частицами системы, состоя­щей из многих тождественных частиц.

Спин электрона — квантовая величина, внутреннее не­отъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Для систем частиц, обра­зованных фермионами — частицами с по­луцелым спином, числа запол­нения могут принимать лишь два значе­ния: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел за­полнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <N_i>.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой стати­стикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

где <N_i>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией E_i,  — химический потенциал. Может иметь положительное значение (это не приводит к отрицатель­ным значениям чисел <N_i>). Это распреде­ление называется распределением Фер­ми — Дирака.

(E_i-)/(kT)

энергиея Ферми

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если ₀ — химический по­тенциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно (235.2), среднее число <N(E)> электронов в квантовом состоянии с энер­гией E равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)> =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. Из (236.1) следует, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей ₀, свободны. Следовательно, ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается Е_F (E_F=₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне.

Задание26.

Собственная проводимость полупроводников. Примесная проводимость полупроводников. р-n переход.

Собственная электропроводность полупроводников возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число свободных электронов, занимающих энергетические уровни вблизи дна зоны проводимости. Одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях (вблизи потолка валентной зоны), представляющих собой дырки.

Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описывается функцией квантовой статистики Ферми-Дирака.

Значение уровня Ферми, которому соответствует 50 % вероятность, отсчитанное от потолка валентной зоны, выражается формулой: . Обычно второе слагаемое мало и, то есть уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны. Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, величина, и вероятность заполнения этими электронами уровней на "хвосте" функции распределения f(E) можно находить по формуле:.

Пропорциональным этой вероятности будет количество электронов, перешедших в зону проводимости, а, следовательно, и количество образовавшихся в валентной зоне дырок.

Так как удельная электропроводность пропорциональна числу (концентрации) носителей тока, то она должна быть пропорциональна плотности вероятности, то есть функции f(E), то есть: , где.

Так как , то на графике- будет прямой линией. По наклону этой прямой можно определять ширину запрещенной зоныE полупроводника.

Типичными собственными полупроводниками являются элементы 4-ой группы таблицы Менделеева - германий и кремний. Они являются четырехвалентными и образуют кристаллическую решетку типа алмаза. В ней каждый атом связан ковалентными (парно электронными) связями с четырьмя своими соседями.

Примесная электропроводность полупроводников возникает при введении примесей и делится на донорную (или электронную, или n - типа) и акцепторную, называемую еще дырочной или проводимостью p- типа.

В полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, имеемся только один вид носителей тока - электроны. Такая примесь, "поставляющая" электроны в качестве носителей тока, называется донорной, а сам примесный полупроводник называется полупроводником n - типа.

Если же в четырехвалентный полупроводник вводится примесь с валентностью на единицу меньшей (например, бор в германий), то одна из связей германия с бором окажется незадействованной, то есть будет дыркой, которая может эстафетно заполняться электронами из соседних связей. Таким образом, здесь возникает носитель другого вида - с положительным зарядом +q_е (дырка). Соответствующая примесь называется акцепторной, а полупроводник – p - типа.

Примеси искажают электрическое поле кристаллической решетки, что приводит к возникновению на электрической схеме так называемых примесных уровней (состояний), расположенных в запрещенной зоне кристалла.

Когда расстояние донорных уровней от дна зоны проводимости и акцепторных уровней от потолка валентной зоны моло, энергия теплового движения достаточно для переброса электронов в зону проводимости и дырок в валентную зону.

При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения. Это означает, что практически освобождаются все донорные, или заполняются электронами все акцепторные уровни. Вместе с тем, по мере роста температуры все в большей степени начинает сказываться собственная проводимость полупроводника, обусловленная перебросом электронов через запрещенную зону. Можно сказать, что при низких температурах проводимость носит преимущественно примесный характер, а при повышении температуры все более доминирует собственная проводимость полупроводника.

.

Задание27.

Строение атомных ядер. Состав ядра атома. Энергия связи атомных ядер. Ядерная и термоядерная реакции.