ФБГОУ ВПО
“ВоронежскИЙ государственнЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ”
Кафедра информационных технологий,
моделирования и управления
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Методические указания к практическим и лабораторным занятиям
по дисциплине "Дискретная математика"
Для бакалавров, обучающихся
по направлениям 230400, 230700
и специалистов – по специальности 090303
очной формы обучения
1. Метод математической индукции
Метод математической индукции – универсальный способ доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента n. Он основан на следующем принципе математической индукции: утверждение справедливо для любого натурального n, если: 10 оно справедливо для n = 1;
20 из того, что оно верно для всех n k (k 1) следует его справедливость для n = k + 1.
Этот принцип, являющийся одной из аксиом натурального ряда можно перефразировать так: если в цепочке утверждений Р(n) первое утверждение Р(1) верно, а из справедливости Р(k) следует справедливость Р(k + 1), то вся цепочка состоит из верных утверждений.
Задача
1. Найти сумму
.
Решение.
Имеем:
;
;
;
.
Есть подозрение, что
.
Докажем эту формулу.
10.
При n
= 1
– формула верна.
20.
Предположим, что для произвольного k
1
для всех n
k
.
В частности, для n
= k
.
Найдем
.
Имеем
.
По предположению это равно
=
=
=
,
что и требовалось доказать.
Слово “индукция” переводится как “наведение”. Во многих отраслях науки используют метод простой (не математической) индукции – вывод, полученный после рассмотрения ряда частных случаев (согласно принципу простой индукции – от частного к общему). В основном так поступают, обобщая результаты каких-то экспериментов. Так, в предыдущем примере, при выводе возможной формулы для Sn, предварительно были найдены значения S1, S2, S3, … . Однако индуктивное утверждение может быть неверным, простая индукция позволяет лишь выдвинуть гипотезу, которую надо доказать, например, с помощью математической (полной) индукции. Можно привести много примеров, когда простая ндук-ция приводит к ошибочным выводам. Например, анализируя числа 1, 3, 5, 7 можно прийти к неверноиу заключению, что все не-четные числа являются простыми.
Слово ”индукция” в названии рассматриваемого метода, видимо, связано с тем, что для его использования необходимо сначала догадаться, что именно следует доказать, т.е. выдвинуть гипотезу. Обычно это делается с помощью простой индукции.
Задача 2. “Докажем”, что все натуральные числа равны между собой. Предположим, что k = k + 1. Прибавим по 1 к обеим частям этого равенства. Получим k + 1 = k + 2, что и требовалось доказать. Ошибка этого “доказательства” состоит в отсутствии проверки утверждения при n = 1.
Задача 3. Доказать неравенство 2n > 2n + 1 при n 3.
Решение.
10. 23 > 7.
20. 2k + 1 = 2×2k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = (2k + 3) + (2k – 1) > 2k + 3.
Задача 4. Доказать, что для любого n 0 число 11n + 2 + 122n + 1 делится на 133.
Решение.
10. 112 + 121 = 133 – верно при n = 0.
20. 11k +3 + 122(k + 1) +1 = 1111k + 2 + 144122k + 1 = (144–133) 11k + 2 + 144122k + 1 = 144 (11k + 2 + 122k + 1) – – 13311k + 2.
В полученной разности уменьшаемое делится на 133 по предположению, а вычитаемое содержит множитель 133. Следовательно, все выражение делится на 133.
Контрольные вопрсы и задания
1. Доказать формулу Sn = 12 + 22 + 32 + … + n2 =
= n(n +1)(2n +1) /6.
2.
Обозначим Hn
= 1 + 1/2 + 1/3
+…+ 1/n
– гармонические числа. Доказать, что
Нn
неограниченно сверху, т.е. что Нn
+
(
).
3. Доказать, что любую сумму денег более 7 копеек можно уплатить монетами достоинством 3 и 5 копеек.
4. Найти формулы для вычисления:
а)
б)
Доказать формулы и утверждения (5 – 13).
5.
6.
.
7.
При любом х
1,
.
8. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 делится на 9.
9.
Выражение
делится без остатка на 9.
10. Число диагоналей выпуклого n-угольника k = n(n –2) /2.
11.
Последовательность аn
=
(n
корней) возрастает.
12.
cos
cos
2…
cos
2n
=
.
13.
14.
.
15.
.
16.
17.
18.
