Ответы и указания к задачам § 2

1. Число наборов р(п)= 2".

2. Это число равно числу двоичных наборов длины 2^п, т. е. 2^а".

3. 2^2,‘^-1

4. Определить функцию / индукцией по рангу суперпозиции /.

5. Для доказательства достаточно доказать совпадение истинност­ных таблиц для формул, стоящих в левой и правой частях. Однако нет необходимости в составлении полных истинностных таблиц. Достаточно проверить совпадение множеств наборов, на которых эти формулы равны

1. (или 0).

6. Воспользоваться (2.6) и (2.2).

7. Воспользоваться (2.7) и (2.4).

8. Воспользоваться равносильностями (2.8), (2.9).

1. (xVy)z; б) х (ху\! у V г Vy (tVz)).

9. А В = АВ. Воспользоваться задачей 1.13: А ->■ B — TivB и равносильностями (2.8) и (2.1).

11. Выделить простые высказывания и записать это высказывание в виде формулы алгебры логики, после чего построить отрицание на основе равносильностей (2.8) и (2.9).

15. Можно воспользоваться известными свойствами общих дели­телей и кратных или вывести эти свойства непосредственно. Можно также следующим образом свести эту задачу к предыдущей.

Пусть M = pf'p2^г ... Pk^k—разложение числа N на простые множители, А; > 0, l«Ci«C/:. Всякий делитель х числа N имеет вид х — р*' ... р^х_к^к, где СК;*,-</!,•. Для каждого i^к

рассмотрим булеву алгебру 9(/ натуральных чисел 0 Арас­

смотренную в примере 3). Легко видеть, что если над делителями ^Х—Р\¹Р¹2 ••• Pk^U> y — P^V\^lf^i P^Vk производится одна из опреде­ленных нами операций (х, ху, x\jу), то над соответствующими по­казателями xi, У[ производится та же операция в булевой алгебре 91/, 1 <~i<k. Отсюда сразу следует, что условия (2.1)—(2.13) для множества 9Пдг делителей N выполнены и ЭПдг— булева алгебра.

Мы показали здесь, что булева алгебра ЭПдг и з о м о р фн а пря­мому произведению булевых алгебр 9ti (см. определе­ние 2.6). Если имеется несколько булевых алгебр $R_lf ... , 9?*, то их прямым произведением называется множество 9?*=9?iX... Х9?*, элементами которого являются наборы (х,, ... , х_к) по одному элементу из каждой булевой алгебры fit,-, причем действия над на­борами осуществляются поэлементно:

(Xi, ..., х/г) ⁼ (.^х1> • ••»

(Xi, ..., Xfi) (у 1, . .., yk)—(Xiyi, .... Xfcyfa)',

(x_v х_к)\/(у_г, y_k) = (x₁Vy_l Х_кУу_к).

Наборы из соответствующих выделенных элементов (0,. . . ,0), (1 1)

являются выделенными элементами в 91. Очевидно, что в результате множество 91 превращается в булеву алгебру.

15. Имеем

х — х, ху =ху, xvt/ = XVу , х, у£Ш\._м.

15. Каждому делителю числа N ставится в соответствие множество его простых делителей.

16. Воспользоваться аксиомой (2.1) и законами де Моргана

8. , (2.9).

15. Рассмотреть булеву алгебру из примера 3) или какую-либо ее подалгебру.

16. Можно, например, составить истинностные таблицы.

22. Воспользоваться задачей 2.19.

23. В одном случае достаточно рассмотреть для каждой ситуации гомоморфизм, ставящий в соответствие высказыванию значение истин­ности в этой ситуации (высказывания, которые не разделяются, по опре­делению тождественны). Во втором случае каждому элементу т£М ста­вится в соответствии гомоморфизм: х =j> 1, если т принадлежит подмно­жеству, * => 0 — в противном случае.

24. Рассмотреть ограничения гомоморфизмов алгебры на ее под­алгебру.

30. 1) Взять СДНФ в общем виде и найти наборы, на которых она равна 1.

2. Хотя указанная выше идея очень проста, мы советуем читателю обдумать еще и другой путь решения задачи. Найти общее число различ­ных СДНФ от п переменных и сравнить это число с числом функций от п переменных. Такого рода «мощностные» рассмотрения часто бывают полезны.

   31. Воспользоваться равносильностью (2.15).