8. , (2 9) Для перенесения отрицаний (ср. Задачу 2.8).

Заметим, что формулы, являющиеся ДНФ, можно охарактеризовать как формулы, содержащие только дизъюнкцию, конъюнкцию и отрица­ние, в которых отрицания стоят только над аргументами и вначале вы­полняются все конъюнкции, а потом дизъюнкции. Таким образом, далее нужно

2. преобразовать формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше, чем дизъюнкции.

Как мы уже отмечали, это делается при помощи дистрибутивного ' закона (2.6), а также его следствия, содержащегося в задаче 2.6.

33. Преобразовать в ДНФ следующие формулы: a) x\Jy\ б) (x\/z)(x-+ у)\ в) (x~f/)(z— t). Д

Теперь преобразуем ДНФ в СДНФ.

3. Если в ДНФ имеется несколько одинаковых элемен­тарных конъюнкций, то мы оставляем только одну.

Это преобразование приводит к равносильной формуле в силу рав­носильности (2.10).

4. Делаем все элементарные конъюнкции правильными путем следующих двух преобразований:

а) если в элементарную конъюнкцию входит некоторая переменная вместе со своим отрицанием, то мы удаляем эту конъюнкцию из ДНФ;

б) если некоторая переменная входит в элементарную конъюнкцию несколько раз, причем или во всех случаях без отрицания, или во всех случаях под знаком отрицания, то мы оставляем только одно вхождение.

Преобразование а) приводит к равносильной формуле, так как хя—=0; преобразование б) — в силу (2.11).

Теперь нужно получить полные конъюнкции.

5. Если в некоторую конъюнкцию х1‘ . . ,х%^к не входит переменная у, то нужно рассмотреть равносильное выра­жение х¹¹,' . . .х1^к(у \/у) и вновь применить преобразование

2. . Если недостающих переменных несколько, то нужно до­бавить несколько конъюнктивных членов вида (у \/у).

Напомним, что у \/у= 1, 1х=х. После применения пре­образования 5) могут вновь появиться одинаковые конъ­юнкции. Поэтому

6. нужно вновь применить преобразование 3).

На этом преобразование формулы в СДНФ заканчивается. Мы не оговаривали, что всюду, конечно, надо пользоваться коммутативностью и ассоциативностью конъюнкции и дизъюнкции.

34. Найти СДНФ для формул задачи 2.33, а также для формул: г) x\/yz\ д) xyxi\/xt\ е) ху\Jyzt\Jxijzt. ▲

5. Конъюнктивные нормальные формы. Теперь мы проведем аналогичные рассмотрения для конъюнктивных нормальных форм.

Определение 2.14. Формула вида х"¹ V- • • \Лл" называется элементарной дизъюнкцией.

Определение 2.15. Всякая конъюнкция элемен­тарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

34. Показать, что необходимым и достаточным усло­вием тождественного равенства КНФ единице является наличие в каждой элементарной дизъюнкции некоторой переменной вместе с ее отрицанием. ▲

Определение 2.16. Элементарная дизъюнкция называется правильной, если в нее каждая переменная

входит не более одного раза (включая ее вхождения под знаком отрицания).

Определение 2.17. Правильная элементарная конъюнкция называется полной относительно переменных х_и . . ., х_п, если каждая из этих переменных входит в нее один и только один раз (быть может, под знаком отри­цания).

Определение 2.18. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) относительно переменных х_и . . х_п называется конъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все элементарные дизъюнкции правильны и полны относитель­но переменных х_и ■ ■ х_п.

В силу задачи 1.21 всякую функцию f (х_и ■ . х_п), отличную от тождественной единицы, можно представить совершенной конъюнктивной нормальной формой:

f(x_lt ..., *„) = _ П_ V - • • V4", (2.17)

f (0i о„) = 0

где символ И означает, что конъюнкция берется по тем на­борам, которые указаны под ним.

34. Доказать, что представление функции в виде СКНФ единственно. ▲

Равенство (2.17) можно переписать так: f(x_L х_п)= Г! f(o_lt-...^)V4*V...Vx^, (2.18)

(о, On)

где конъюнкция берется по всем двоичным наборам

(Olf • м °п) •

Функции можно раскладывать в СКНФ и по части пере­менных:

f (Х X» •••* Х_п, у у, ..., Ут)~

= П а'п-.у, y_m)VxVV...Vxfr (2.19)

(а, о„)

34. Доказать равносильность (2.19). А

35. Найти СКНФ для функций из задачи 2.32. А

36. Описать алгоритм преобразования формулы к СКНФ (аналогично п. 6). А

37. Найти СКНФ для формул а), б) задачи 2.33, а так­же для формул: в) (х\/у)(у\/z)(z\/t); ^г) * (*/V^Z)(*VW^Z)- А

5. Упрощение нормальных форм. Д тя упрощения ДНФ или КНФ удобно пользоваться следующими равносиль­ностями:

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

х\/ху = х\ х(хУу) = х\

x\Jxy^x\/y\ х\'ху = х\/у;

х{х\/у) = ху\ х(хУу) = ху.

Равносильности (2.20), (2.21) называются законами погло­щения.

34. Доказать равносильности (2.2U) — (2.25). ▲

35. Упростить формулы:

а) хуг' хуг' 'хуг\/хуг\ б) х\/ху\/уг\/хг; в) (x'\jy)& &(ху\ г)\ г\/{ху у) (u\/v). А