§ 2. Функции алгебры логики; нормальные формы

1. Функции алгебры логики; равносильность функций.

В предыдущем параграфе мы выяснили, что с точки зрения алгебры высказываний логические операции полностью характеризуются истинностными таблицами. При этом можно забыть о том, что мы рассматриваем какие-то опера­ции над высказываниями, и иметь дело лишь с самими таб­лицами. Таким образом мы приходим к понятию функ­ции алгебры логики, которое и будет исследо­ваться в дальнейшем. Однако мы не советуем забывать об указанных выше интерпретациях логических связок, так как они проясняют целый ряд соотношений в алгебре ло­гики. В отличие от предыдущего параграфа мы будем упот­реблять вместо И, Л символы 1, 0 *). Итак,

Определение 2.1. Функцией алгебры логики f (х_и . . х_п) от п переменных х_и . . х_п называется функ­ция, принимающая значения 1, 0 и аргументы которой также принимают значения 1, 0.

Функция f (х_и . . ., х_п) задается своей истинностной таблицей:

-ч	хг	*8		хп— 1	хп	1 <*1. •	. ,*п>
0	0	0		0	0	/(0,0,.	.,0,0)
1	0	0		0	0	/(1,0,.	.,0,0)
1	1	1		1	0	/(1.1,.	.,1,0)
1	1	1		1	I	/(1,1,.	.,1,1)

*) Не имея в виду никакого конкретного «смысла» этих символов, ( ^Т0!§ ^^{Исле и 0}®^Ы'^,Н0Г0 арифметического, если не оговорено противное

В каждой строке таблицы вначале дается набор значений переменных (а,, . . а_п), а затем значение функции на этом наборе. Легко заметить, что число различных двоич­ных наборов длины п (упорядоченных наборов (а_и . . ., а_п) из 0 и 1 ¹)) конечно.

1. Сколько имеется различных двоичных наборов (а_г, . . ., а„) длины п? А

2. Сколько имеется различных функций алгебры ло­гики от п переменных? ▲

3. Сколько имеется различных функций от п перемен­ных, сохраняющих 0 (т. е. равных нулю на нулевом наборе: / (0, . . ., 0)=0)? А

Аналогично рассматривается вопрос для функций, со­храняющих 1. Приведем теперь в новых обозначениях таб­лицы для основных логических операций.

X	У	X	к & у	XV у	X —у	х~у
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	I

Кроме этих основных функций, у нас будут встречаться константы 0 и 1 и функция, совпадающая со своим аргументом.

Договоримся теперь о том, какие функции алгебры ло­гики мы будем считать одинаковыми (ср. определение 1.1). Заметим, что задание функции включает фиксацию обозна­чений для аргументов. Однако (когда не может возникнуть недоразумений) мы будем коротко писать / вместо f (x_t, . . .

* • • , %п)'

Определение 2.2. Пусть fug— функции алгеб­ры логики и х_и . . х_п— совокупность аргументов, входя­щих по крайней мере в одну из этих функций. Мы будем говорить, что fug равносильны (и писать тогда f=g²)),

если при всех значениях х_и . . х_п значения fug совпа­дают.

По аналогии с § 1 (задачи 1.9, 1.10) можно ввести поня­тие фиктивных и существенных переменных. Мы иногда будем пользоваться тем, что к аргументам функции всегда можно формально добавить новый аргумент, после чего получится равносильная исходной функция, фиктивно зависящая от добавленного аргумента.

Отметим, что в силу определения 2.2 функции, имеющие одинаковые истинностные таблицы, но отличающиеся обо­значениями переменных, равносильными не считаются.

2. Суперпозиция функций алгебры логики. Определим основную операцию, которую можно производить над функ­циями алгебры логики,— суперпозицию (или операцию образования сложной функции). Интуитивный смысл этого понятия состоит в том, что в аргументы функции подстав­ляются другие функции, некоторые переменные отождест­вляются, и эта процедура может повторяться. Строгое же определение дается по индукции.

Определение 2.3. Пусть Ф={ф1(хп, . . х_1к),

фг(-^21, • • •» Л-2)ц)| • • • I Фт(-^т1> ■ ■ •> КОНеЧНЗЯ СИС-

тема функций алгебры логики.

Функция 1]; называется элементарной суперпозицией или суперпозицией ранга 1 (обозначение: ф £Ф^(1>), если она может быть получена одним из следующих способов:

а) из какой-то функции ф₇- 6 Ф переименованием какой-то из ее переменных Хц, т е имеет вид

Фу (^A7i> X/i—l> У’ l+l' •••> Xjkj),

где у, в частности, может совпадать с одной из перемен­ных х_ы;

б) подстановкой некоторой функции ф_г £Ф вме­сто какого-то аргумента х_п одной из функций ф, £Ф:

Ф/ (Xfi 1 Xj ф XikJ, Xj Xjkj).

Получающаяся в результате функция ф зависит от аргу­ментов

(Xjl т • ■ • > Лу 1> Х/1> • • • 7 Xlklt Xj i ₊ lt • • • * Xjkj),

т. e. от всех переменных функций ф;, ф_г, исключая, быть

может, х_п.

Если описан класс Ф^(г> функций, являющихся суперпо­зициями ранга г функций из системы Ф, то класс Ф^(г+1)

2. 33

   С. Г. Гиндикин

состоит из элементарных суперпозиций функций из Ф^(г> (т. е.

ф(г+1> - ₌(ф(П)(1>)_

Суперпозициями функций из Ф называются функции, входящие в какой-либо из классов Ф^(Л).

Замечание 1. Если ф} нкции ф и гр имеют одина­ковые истинностные таблицы, отличаясь только обозначе­ниями переменных, то в силу а) определения 2.3 каждая из них является суперпозицией другой.

Замечание 2. В силу а) определения 2.3 ФсФ'¹¹, а значит, ф^(rtc:Ф^(,'^+1, и вообще Ф^(г>с:Ф^ш при r^s.

Замечание 3 Если при переименовании перемен­ных согласно а) определения 2.3 мы заменим Хц на некоторую Xji (1фi), то получим функцию от меньшего числа переменных. В таких случаях говорят, что у ф₇- о т о- ждествлены переменные х_п и х_п. Например, при отождествчении переменных хну функции x\Jy и х & у переходят соответственно в х\/х=х м х&х=0. Повторение этой процедуры позволяет отождествлять любое число пере­менных.

Замечание 4. Точно так же, повторяя процедуру подстановки согласно б) определения 2.3, мы можем под­ставить вместо любого числа аргументов любой функции из Ф произвольные функции из Ф.

Определение 2.4. Суперпозиция основных функ­ций х, х&у, x\Jy, х-*-у, х~у называется формулой.

Введенное в § 1 понятие равносильности формул (опреде­ление 1.1) согласуется с определением 2.2.

В дальнейшем нам часто придется неявно пользоваться следующим — почти очевидным, но важным — свойством суперпозиций.

4. Пусть Ф={ф;} — конечная система функций, Ф состоит из функций 'фу, каждая из которых равносильна какой-либо функции из Ф. Каждой функции /, являющейся суперпозицией функций из Ф, поставим в соответствие функцию f, которая получится, если все функции из Ф, из которых в результате суперпозиции получена f, заменить какими-либо равносильными функциями из Ф (строгое опре­деление f дается по индукции). Доказать, что функции f и / равносильны. ▲

Несмотря на всю очевидность этого утверждения, мы советуем читателю аккуратно доказать его — чтобы при­выкнуть к технике индуктивных доказательств такого рода. Смыст утверждения состоит в том, что в суперпозиции функ­ций {<ь} в каждом вхождении их можно заменять равно­сильными функциями. Аналогично показывается, что в су­перпозиции можно заменять равносильными функциями участвующие в ней суперпозиции меньшего ранга.

Несколько упростим обозначения. Будем опускать сим­вол конъюнкции &, т. е. вместо х&у будем писать просто ху ¹). Далее мы сократим число скобок, установив «иерар­хию» операций: «старшая» операция — конъюнкция, за­тем — дизъюнкция, и, наконец, импликация и эквивалент­ность (их мы не упорядочиваем). Соглашение состоит в том, что вначале выполняется старшая операция, если скобки не предписывают противное. Например, формулу (xtktj)\J

• (г t) можно переписать так: xy\/(z-^ t)\ формулу (х\/у) -> (у& г) — в виде х\/у -> уг.

Приведем теперь перечень важнейших равносильностей алгебры логики:

х= х\	(2.1)
ху=ух\	(2.2)
(ху) z = x (уг);	(2.3)
х\/у = у\/х-,	(2.4)
(W*/)Vz = *V (</Vz);	(2.5)
х (у\/ z) = ху\/ xz;	(2.6)
х\!уг = (х\/у)(х\/г)\	(2.7)
х\уу= ху,	(2.8)
ху = х\/у;	(2.9)
х\/х — х;	(2.10)
хх=х;	(2.11)
1х = х;	(2 12)
0 \/х= х.	(2.13)

4. Доказать равносильности (2.1) — (2.13). ▲

Равносильности (2.2), (2.3), (2.4) и (2.5) означают ком­мутативность и ассоциативность конъюнкции и дизъюнк­ции. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции позволя­ет опускать скобки в конъюнкциях и дизъюнкциях несколь­ких переменных, коммутативность — расставлять члены

таких конъюнкции и дизъюнкций в любом порядке. Рав­носильности (2.6) и (2.7) — это дистрибутивные (распреде­лительные) законы конъюнкции и дизъюнкции ¹). (2.6) поз­воляет «раскрывать скобки». Вообще же (2.6) и (2.7) позво­ляют преобразовывать выражения так, чтобы операции в них выполнялись в обратном порядке (например, если в исходном выражении вначале выполнялась дизъюнкция, а потом конъюнкция, то можно получить равносильную формулу, в которой вначале выполняется конъюнкция, а потом дизъюнкция). Мы еще воспользуемся этим обстоя­тельством при рассмотрении нормальных форм. При этом нам потребуются следующие факты.

4. Доказать, что

(x\/y)(z\/t) = xz\/yz\/xt\/yt. А

4. Доказать, что

xy\/zt = (х\/z) (уу z) (x\j't) (у \/t). д

Равносильности (2.8) и (2.9) (так называемые законы де Моргана) уже упоминались в § 1 в связи с возможностью выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание, а дизъюнкцию — через конъюнкцию и отрицание. Эти же соотношения используются для перенесения отрицаний, применяемых к сложным высказываниям, на составляющие их простые.

4. Преобразовать (найти равносильную формулу) к формуле, в которой отрицания стоят только над аргу­ментами: а) хуМг, б) x(xy\/yz V (у У (г)). ▲

5. Выразить отрицание импликации через основные операции так, чтобы отрицания стояли только над аргу­ментами. ▲

Процедура переброски отрицаний на простые выска­зывания используется при построении определений от­рицательных понятий. Мы уже касались этого в § 1 (за­дача 1.10) и неоднократно будем возвращаться к этому в

дальнейшем.

4. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода — пойти на реку выкупаться. В каком случае мож­но сказать, что решение мальчика не выполнено? (В ответе отрицания должны содержаться лишь в простых высказы­ваниях.) А

Мы не думаем, что при ответе на этот вопрос вам непре­менно пришлось прибегнуть к алгебре высказываний. В лю­бом случае попытайтесь дать ответ непосредственно. После этого, напротив, обязательно решите эту задачу при помощи алгебры логики.

4. Решить задачу 2.10, используя алгебру высказы­ваний. ▲

5. Придумать самим сложное высказывание, содер­жащее различные связки, и построить его отрицание не­посредственно и при помощи алгебры логики. ▲