Ответы и указания к задачам § 1

1. Приведем истинностную таблицу для ААВ:

А	в	ААВ
И	И	Л
И	Л	и
JI	И	и
Л	Л	Л

Эту же таблицу имеет, например, операция (А&В) V(Л&В), а также (Av ВЩА-v В).

4. Нужио лишь вспомнить определения необходимых и достаточ ных условий, после чего утверждение превращается в тавтологию.

6. 16 Операций; каждая операция задается своей истинностной таблицей, так что задача заключается в том, чтобы найти число всех различных таблиц.

7. 8 операций (их число находится аналогично предыдущей зада­че): тождественная истина, тождественная ложь, дизъюнкция, конъюнк­ция, эквивалентность и их отрицания. Заметим, что отрицание эквива­лентности совпадает с альтернативной дизъюнкцией (см. задачу 1.1).

9. Простое высказывание В входит в формулу 31 существенно, если существует такой набор значений истинности остальных простых высказываний А_и . . А_п, при которых значение истинности 31 зависит от значения истинности В (т. е. для этого набора значения истинности 3( различны при различных значениях истинности В).

10. Простое высказывание В фиктивно входит в формулу 31, если для всякого набора значений истинности остальных простых выска­зываний А_и . . ., А_п значение истинности 31 одно и то же при обоих значениях истинности В

11. Решение непосредственно следует из определения фиктивного вхождения (задача 1.10) и определения равносильности формул.

13. Нужно выразить импликацию А—>В, так как эквивалентность в силу задачи 1.5 выражается через импликацию и конъюнкцию:

А ~ В=(А -* В)&(В А).

Можно также использовать равносильность А—В—ААВ и задачу 1.1 Чтобы выразить А—*В, удобно сравнить ее истинностную таблицу с

истинностной таблицей для дизъюнкции и использовать тот факт, что и там, и там имеется единственный набор, для которого результат опе­рации есть ложь.

13. Нужно выразить дизъюнкцию через конъюнкцию и отрица­ние; конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание. Воспользоваться тем, что истинностные таблицы для дизъюнкции и конъюнкции переходят одна в другую при замене «Л» на «И» и «И» на «Л».

14. Достаточно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнк­цию ц отрицание.

19. Составим истинностную таблицу для ЭД, начиная с тех строк, для которых 41 истинна. Каждой такой строке поставим в соответствие конъюнкцию тех простых высказываний, которые в этой строке истинны, и отрицаний остальных. Затем остается взять дизъюнкцию этих конъ­юнкций.

21. Каждой строчке из таблицы, в которой значение 51 ложно, поставим в соответствие дизъюнкцию тех простых высказываний, зна­чения которых в этой строчке ложны, и отрицаний остальных простых высказываний. Затем нужно взять конъюнкцию этих дизъюнкций.

23. Пусть, для определенности, ответ «да» будет соответствовать тому, что путешественник находится в городе Л, «нет» — тому, что ои находится в городе Б. Вопрос с двузначным ответом можно интерпрети­ровать как вопрос об истинности или ложности какого-то высказывания. Пусть это будет сложное высказывание, составленное из простых вы­сказываний:

X: «Путешественник находится в городе Л»,

Y: «Собеседник говорит правду».

Тогда

X: «Путешественник находится в городе Б»,

Y: «Собеседник говорит ложь».

Итак, нужно построить сложное высказывание ЩХ, F) с таким расче­том, чтобы собеседник говорил, что оно истинно, если X истинно, и что оно ложно, если X ложно.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ §1

1.6. Таблицы имеют вид, схематически указанный в следующей таблице:

-1	в	а (А, В)
И	И	*
И	л	*
л	и	*
л	л	*

Таблицы для различных операций различаются последними столбцами, элементы которых заменены значком *. Вместо * может стоять или «И», или «Л», причем возможны любые комбинации. Различных комбинаций будет 2⁴= 16 (это так называемые размещения с повторениями из двух элементов по четыре).

7. Опять нужно подсчитать число таблиц. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что в последнем столбце второй и третий элементы должны совпадать. Поэтому можно произвольно выбирать 3 элемента, и различных возможностей будет 2⁸=8. Конкретный вид операций про­веряется непосредственно.

13. А В = АуВ- А ~ В = (А УВ)&(ВУА) = (А&В)у(А&В).

14. А V B=~AkB, А&В = АУ~В.

15. АуВ = А -*■ В.

16. А =ф_(Л₁Л); А УВ = А У В = <р (А, В) = ф (<р (А, B),q> (А, В)) или Л&В = ф (А, В) = ф (ф(Л, А), (В, В)). Случай операции (А, В) рассматривается аналогично.

17. АУ В = (А -> В) В.

19. Каждая из построенных конъюнкций будет истинна только при тех значениях истинности простых высказываний, которые стоят в соответствующей ей строчке. Поскольку мы взяли дизъюнкцию по всем наборам значений истинности простых высказываний, на которых истинна, построенное высказывание будет истинно на всех этих на­борах и только на них. Ясно, что логическая операция определяется множеством наборов, на которых полученное сложное высказывание истинно (на остальных оно ложно).

21. Каждая из дизъюнкций, построенных в указании к задаче, ложна лишь на соответствующем ей наборе значений истинности простых высказываний. Поэтому конъюнкция рассматриваемых дизъюнкций ложна на тех же наборах, что и 31.

22. СДНФ: Х = A; A&F-A&F; AvF = (A&F) V (A&F) v(A&F); X F = (A&F)v(A&F)v(A&F); А' ~ F = (A&F)v(A&F).

« СКНФ: X— X; A&F = (XvF)&(AvP)&(AvF); XvF=AvF; A-*F = AvF; A ~ F = (AvF)&(*vF).

21. Будем строить истинностную таблицу для искомого высказы­вания. Ясно, что если Y истинно, то ЩХ, Y) должно быть равносильно А'; в противном случае — И, т. е.

31 (A, F)=*(A&F)V(A&F).

Вид ЩХ, Y) можно было бы получить по таблице

X	Y	я (X, Y)
И	и	и
И	л	л
л	и	л
л	л	и

при помощи конструкции задачи 1.19. Итак, можно задать вопрос: «Верно ли, что я нахожусь в городе А и Вы говорите правду или я на­хожусь в городе В и Вы говорите ложь?». Заметим, что

Ш(Х, Y) = X~Y;

поэтому вопрос можно сформулировать и так: «эквивалентно ли то, что я нахожусь в городе А, тому, что Вы говорите правду?».

Конечно, задачи типа задачи 1.23 можно решить, не используя ал­гебры высказываний, но последняя дает возможность решать их более формально.