§ 12. Логика предикатов

1. Понятие предиката. При изучении логических опера­ций высказывания рассматриваются при одной Фиксиро- ваннои**ситуации. после фиксации ситуации все высказы- вания делятся на истинные и ложные (в этой ситуации), и мы имеем дело с дв> хэлементной булевой алгеброй (0, 1} (как мы говорили в § 2, фиксация с ггуации порождает гомоморфизм булевой алгебры высказываний в алгебру и см. решение задачи 2.23). В л о г и к е п р е ; - к а -

3. MjDlGEC’ ⁰¹ ситуаций. При этом Фиксируется уже не одна-единственная ситуация, а некоторое множество допустимых ситуаций. В каждой ситуации мы по-прежнему интересуемся лишь истинностью или ложностью высказы­вания. Высказывание как функция на некотором фиксиро- ванном множестве допустимых ситуации называется преди­катом на этом множестве (точнее: каждой ситуации ста­вится J/. coot ,:нн- нгтш'нпгтипр зи.чченпе . т.-нмш в этой ситуации). Область определения пре икат но>1$> ство ситу аций), вообще говоря, неоднозначно определяется видом высказывания и вс^щ^^щщ^^^оварниатьс^. Приведем примеры предикатов: «х — простое число» (он естественно определен на множестве натуральных чисел), отот ) ченик учится на отлично» (здесь можно по-разному фиксировать множество учеников, например, выбрать неко­торый конкретный класс), «прямая а проходит через точку А» (зДесь в качестве множества ситуаций возьмем множество всевозможных пар {а, А}, где а — прямая, а А — точка на евклидовой плоскости) В последнем примере предикат удобно считать не ф>нкцией от одной переменной, прини- ] ающей значения из множества пар {а, А), а функцией от двух переменных, одна из которых (а) принимает значе­ния в множестве прямых на евклидовой плоскости, а другая

(А)-в множестве точек. С учетом этого обстоятельства мы и дадим определение.

Определение 12.1. Пусть /Ж—(М,. . . .. ^ЧЖ„} — конечный набор множеств. Всякое^оответствн§М(x_lt...,х_п), относящее каждому набору из п Цементов (а_и . . ., а_п), где щ ’б i)fi, а» а_п 6lW_n, какой-либо из элементов

булевоц алгебры {0,J}, называется п-местным предикатом на W. Множество ЭЛ г называется предметной областью (или множеством ситуаций) для переменной x_t. Перемен­ные х_п называются предметными переменными или субъектами. Некоторые из множеств Ш_L могут сов­падать.

предщщ A(x_lt . . ., х_п) на iU= ={3л7, . . .. :ЦиЛ можно j'tfiY^M-^1Tl ^вать как одноместный предикат на множестве наборов (а~ а„) Щ £ ¹].){,)• Это множество называется прямым произведением множеств Я){_ь . . ., оно обозначается через ^ц X. . . х .

Заметим, что если 9K_lt ®t_g — множества точек прямой, то Ш^хЭЛг можно интерпретировать как множество точек плоскости.

1. Сколько имеется различных ft-местных предикатов на множестве из п элементов? ▲

Константы 0, 1 будем называть нульместными преди­катами *).

Приведем несколько примеров.

1. «Прямая Р проходит через точки А и В» — трех­местный предикат, у которого предметными областями двух переменных (А и В) являются множества точек, а третьей Р — множество прямых.

2. «Если х, у и г — натуральные числа, причем х де­лится на у, а. у делится на г, то х делится на г» — трех­местный предикат, у которого все предметные области — натуральные ряды чисел; на языке § 1 это абсолютно истин­ное высказывание; теперь же мы можем сказать, что предикат тождественно равен единице.

3. «Если тетрадь лежит в папке, а папка в портфеле, то тетрадь лежит в портфеле» — также трехместный тождест­венно истинный предикат.

4. «Мальчик держит в руке этот карандаш» — можно считать, что это двухместный предикат: одна предметная область — мальчики, другая — карандаши.

Если имеется некоторый многоместный предикат, то, фиксируя значения некоторых его переменных, мы получим предикат от меньшего числа переменных. Так, зафиксировав прямую Р в примере 1, мы получим двухместный предикат; рассматривая определенный карандаш в примере 4, мы получим одноместный предикат.

Иногда рассматриваются лишь предикаты с общей пред­метной областью для всех переменных. Общий случай мо­жет быть сведен к этому, если рассмотреть объединение предметных областей для всех переменных.

Для некоторых предикатов используются специальные обозначения. Например, х=у для натуральных чисел х, у — это двухместный предикат А(х, у) на множестве натуральных чисел ¹), равный 1, если х и у совпадают. Другие примеры: х>у— двухместный предикат на мно­жестве натуральных чисел, AB \ CD — двухместный пре­дикат на множестве прямых.

2. Кванторы. Формулы логики предикатов. Поскольку предикаты принимают значения из {0, 1}, над ними можно производить все логические операции. Но имеются еще и специфические операции логики предикатов, которые отно­сятся уже не к одной фиксированной ситуации, а ко всему множеству ситуаций.

Пусть А(х) — одноместный предикат. Рассмотрим кон­станты (нульместные предикаты):

ух.

х А (к) = I ^’ ^если ^ ⁼ 1 для всех х£ ЭЛ,

'' ~~ \ 0 в противном случае;

Эх А (х) = 1 * ’ ^если ^ ⁼ 1 ^хотя бы для одного х а Ш,

1. I 0 в противном случае.

В первом случае мы говорим, что предметная переменная х связана в предикате А{х) квантором всеобщности, во втором случае — квантором существования. Квантору всеобщности соответствует «связывание» субъекта словами для всех (для всякого х имеет место А(х))\ квантору существования — словами существует (существует х, для которого имеет место А (х)).

Применение кванторов превращает одноместные преди­каты в константы. Если у нас имеется какой-либо ^-местный предикат А(х,, . . ., х_к), то можно применять кванторы по какой-либо переменной (для всякого набора значений остальных переменных):

А (Л^, Х₂, . • . > -¹fc)» ЭХуА (Ху, Х₂, • . -, %/г)‘

В результате в обоих случаях получается (к—1)-местный предикат от (х₂, . . ., х_к). Мы будем говорить, что Ху в этих формулах является связанной переменной.

Теперь мы перечислили все операции логики предика­тов. Строгое определение формулы логики предикатов дается по индукции, при этом одновременно определяется понятие свободных и связанных переменных:

1. Все отдельно взятые предикаты, в которых все месга замещены предметными переменными или предметными постоянными из соответствующих предметных областей, являются формулами. (Логическая константа считается «нульместным предикатом».) При этом все входящие в пре­дикат предметные переменные считаются свободными, свя­занных переменных нет.

2. Если St — формула логики предикатов, содержащая свободную переменную х, то y²St и 3a'^s,U — также форму­лы, в которых х — связанная переменная, а все остальные переменные — те же и того же характера •), что и в St.

3. Если §1 — формула, то St — формула, все перемен­ные которой те же и того же характера, что и у St. Если St и 23 — формулы, причем нет такой переменной, которая в одну из них входит свободно, а в другую связанно, то 9Ш, St \ДЗ> St->23, Э1~23 — формулы, причем в них входят все переменные из формул §(, 43 и вхождение имеет тот же характер.

4. Каждая формула получается за конечное число шагов из элементарных (п. 1) при помощи операций из правил 2) и 3).

Каждая формула St представляет предикат St(x_lf..., х_п) от своих свободных переменных (строго говоря, это утвер­ждение нужно доказывать по индукции); этот предикат не зависит от связанных переменных. Заметим, что если правило 2) применяется несколько раз подряд, то формула начинается с некоторого числа кванторов, первым из них применяется тот, который стоит справа.

Легко установить по индукции, что предикат, представ­ляемый некоторой формулой ?(, не изменится, если пере- обозначить какую-либо связанную переменную любой дру­гой буквой, не используемой для обозначений свободных переменных. Из этого простого замечания следует два важных факта. Во-первых, ограничение в 3) определения на формулы, соединяемые знаком логической операции, не приводит к ограничению на класс представимых преди­катов (можно предварительно переобозначить связанные переменные). Во-вторых, можно так переобозначить свя­занные переменные, чтобы все кванторы применялись к переменным, обозначенным различными буквами. Будем предполагать в дальнейшем, что формулы имеют такой вид. Тогда нет необходимости выделять скобками часть формулы, на которую действует квантор.

В вопросе о равносильности формул логики предикатов имеются два аспекта. Во-первых, пусть фиксированы пред­метные области 9)l={9)li, . . ., 9)t_n} для всех входящих в формулы §1 и 33 свободных переменных, а также предмет­ные константы в SI и 33. Формулы и 33 называются равносильными на системе областей 931, если представляемые ими предикаты $?((*!, . ., x_h), Щу_и . , у_т) равны при любых замещениях входящих в них предикатов (это заме­щение должно быть корректным, т. е. должно учитываться число мест у предикатов и предикаты, обозначенные одина­ковыми буквами, должны замещаться одинаковыми преди­катами). Предикаты А я В называются равными, если их значения совпадают при всех значениях входящих в них переменных (если наборы переменных у Л и Б не со­впадают, то можно считать, что от некоторых переменных А и В зависят несущественно).

Формулы St и 23, не содержащие символов индивидуаль­ных предметов, называются абсолютно равносильными если они равносильны на любых наборах предметных областей.

Иногда на ЭЛ заранее фиксируется некоторое число пре­дикатов, называемых индивидуальными; совокупность инди­видуальных предикатов называется сигнатурой. При рас­смотрении вопроса о равносильности формул, содержащих индивидуальные предикаты, последние нужно замещать соответствующими фиксированными предикатами.

Проиллюстрируем разницу между двумя определениями равносильности на простейшем примере.

2. Показать, что формула А (х) \/А (у) равносильна 1 на любой области il? (точнее — на 301X SOi), состоящей из одного элемента, но не абсолютно равносильна 1. ▲

3. Примеры предикатов. Для того чтобы привыкнуть к языку логики предикатов, рассмотрим несколько упраж­нений.

3. Ввести одноместные предикаты на соответствую­щих областях и записать при их помощи следующие выска­зывания в виде формул логики предикатов:

а) всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и 6;

б) жители Швейцарии обязательно владеют или фран­цузским, или итальянским, или немецким языком;

в) функция, непрерывная на отрезке [О, 1], сохраняет знак или принимает нулевое значение. ▲

Задание в задаче 12.3 несколько неопределенно (по­скольку всякий предикат можно считать одноместным). Имеется в виду задача о нахождении по возможности более элементарных одноместных предикатов так, чтобы получи­лась по возможности более содержательная формула (мы не будем уточнять смысл этих требований).

4. В следующих примерах сделать то же самое, не обязательно ограничиваясь одноместными предикатами:

а) если а — корень полинома от одной переменной с вещественными коэффициентами, то я — также корень этого полинома;

б) между любыми двумя различными точками на прямой лежит, по крайней мере, одна точка, с ними не совпадаю­щая;

в) через две различные точки проходит единственная прямая;

г) каждый студент выполнил, по крайней мере, одну лабораторную работу;

д) если произведение натуральных чисел делится на простое число, то на него делится, по крайней мере, один из сомножителей;

е) через три точки, не лежащие на одной прямой, про­ходит единственная плоскость. ▲

4. Предикаты на конечных областях; логика одноместных предикатов. Укажем некоторые свойства формул логики предикатов, относящихся к фиксированному множеству. Для простоты будем считать, что фиксированное множество ПК является предметной областью для всех предметных переменных.

Пусть вначале область 9Е){ конечна, а_и а₂, . . ., а_п — ее элементы. Тогда оказывается, что на 93i каждая формула равносильна формуле, не содержащей кванторов. Этот факт следует из двух непосредственно проверяемых равносиль­ностей:

VхА (х) = А (й_х) & ... &Л (а_п);

ЗхА (х) = А (а_х) V ... V А (а_п).

При помощи этих соотношений доказательство проводится по индукции. В случае бесконечного поля кванторы можно рассматривать как аналоги конъюнкции или дизъюнкции для бесконечного числа членов ¹) (значений предиката для всех элементов поля). Эту аналогию полезно иметь в виду при установлении различных свойств кванторов.

5. Пусть — формула логики предикатов на фик­сированной области 9Ji (любой мощности), содержащая только индивидуальные одноместные предикаты; доказать, что тогда существует формула 31, равносильная §1, содер­жащая те же предикаты и не содержащая кванторов. ▲

Результат задачи 12.5 позволяет сделать важные выводы об ограниченности языка логики одноместных предикатов.

6. Доказать, что на конечной области всякий инди­видуальный предикат может быть представлен формулой, содержащей только одноместные предикаты. А

7. Доказать, что существуют индивидуальные пре­дикаты, не представимые на той же предметной области, что и исходный предикат, формулой, содержащей только одно­местные предикаты. Найти необходимые и достаточные условия такой представимости. ▲

Отметим, что требование не выходить за рамки исходной области существенно, так как (см. определение 12.1) всякий n-местный предикат всегда можно рассматривать как одноместный предикат, переходя к прямому произведению областей.

5. Свойства кванторов. Начнем с распределительных свойств кванторов.

8. Доказать равносильности (абсолютные):

ух (А (х) & В (х)) = ухЛ (х) & УуВ (у);

Эх (А (х) V В (х)) = Эх А (х) V Эу В (у). А

9. Показать, что дистрибутивные законы для кванто­ра всеобщности относительно дизъюнкции и квантора су­ществования относительно конъюнкции, вообще говоря, не имеют места, т. е. что формулы

ух (А (х) V В (х)) и Vx А (х) V V// В (у);

Эх (А (х) & В (х)) и Эх А (х) & ЭуВ (у)

не абсолютно равносильны. ▲

Стоит посмотреть, во что переходят дистрибутивные за­коны для конечных областей при переходе к бескванторным формулам. Законы из задачи 12.8 следуют тогда из комму­тативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции соответственно. Равносильности в задаче 12.9 не имеют места, так как конъюнкцию и дизъюнкцию, вообще говоря, нельзя переставлять.

В дальнейшем будет существенно, что равносильности, о которых идет речь в задаче 12.9, имеют место, если какой- либо из предикатов А и В не зависит от х.

10. Доказать абсолютные равносильности:

ух (Л (х) V В) — ухЛ (х) V В;

Зх (А (х) & В) = Эх А (х) &В,

где В не зависит от х (х не является свободной переменной предиката В). А

Далее, рассмотрим вопрос о коммутативности кванторов.

11. Доказать, что одноименные кванторы можно переставлять, т. е.

ухууА(х, у) — у«/ ух Л (х, у);

Зх Эу А (х, у) = Эу Эх А (х, у). 4

12. Показать, что разноименные кванторы, вообще говоря, переставлять нельзя. А

Отметим, что в случае конечной области коммутатив­ность одноименных кванторов следует из коммутативности дизъюнкции и конъюнкции.

13. Выяснить геометрический смысл высказываний ЗлгууА(х, у) и Vj/ЭяЛ (х, у) в том случае, когда предмет­ная область — множество точек прямой. ▲

По аналогии с двойственностью конъюнкции и дизъ­юнкции имеет место двойственность между кванторами.

14. Доказать,- что

Vx А (х) = Эл А (ху,

3х А (х) — ух А(х). ^

Равносильности задачи 12.14 стоит сопоставить с зако­нами де Моргана (2.8), (2.9'). Эти равноснльности и закон двойственности в алгебре логики позволяют преобразовать любую формулу логики предикатов в равносильную фор­мулу, в которой символ отрицания стоит только над эле­ментарными предикатами. Строгое доказательство возмож­ности такого приведения проводится индукцией по построе­нию формулы (предоставляем читателю провести его). Получающуюся в результате формулу будем называть почти нормальной формой исходной формулы.

Теперь мы можем на языке логики предикатов выразить то пожелание, которое обычно делается при построении определений отрицательных понятий. Оно состоит в том, что всякое определение, записанное в виде формулы логики предикатов, должно находиться в почти нормаль­ной форме. В этой книге мы неоднократно стремились соблюсти это требование при построении определений отрицательных понятий (см. задачи 1.10, 3.6, 5.1 и т.д.).

15. Привести к почти нормальной форме следующие формулы:

а) v*3\у(Р(х)-+ Q(y));

б) Эл(УуР(х, у, z)-*-3uQ(x, u))&vlw(A(l)VB(v)). ▲

16. Решить задачи 3.6 и 5.1, используя символику логики предикатов. ▲

17. Дать определение последовательности, не имею­щей конечного предела. А

Формулы, находящиеся в почти нормальной форме, можно подвергнуть дальнейшему преобразованию. Именно, поскольку мы договорились обозначать все связанные пере­менные различными буквами, мы можем в силу задач 12.8 и 12.10 выпести кванторы так, что формула примет вид бескванторной формулы, к которой последовательно при­меняются кванторы. Получившуюся в результате формулу мы будем называть нормальной формой исходной формулы ¹).

18. Привести к нормальной форме формулы из за­дачи 12.15.

Обычно не требуется, чтобы определение имело вид формулы в нормальной форме (однако, как правило, тре­буют, чтобы оно имело почти нормальную форму).

6. Примеры утверждений, записанных в виде формул логики предикатов. Сделаем несколько замечаний о записи утверждений и определений в виде формул. Во-первых, нужно очень внимательно следить, чтобы в полученной формуле не было лишних свободных переменных (свобод­ными должны быть лишь те предметные переменные, про которые делается утверждение!).

Во-вторых, часто нужно брать кванторы не по всей предметной области 9Л, а по некоторой ее подобласти ЭЛ' (например, не по всем вещественным числам, а лишь по положительным; не по всем прямым, а по прямым, проходя­щим через данную точку). Эго гак называемые ограниченные кванторы: У,_щ,х, Э_Л.х\ первый из них заменяет слова «для всех х, принадлежащих ЯЛ'», второй — «существует эле­мент х, принадлежащий 9Л V Однако ограниченные кванто­ры могут быть выражены через обычные. В связи с этим мы не будем в дальнейшем прибегать к символам ограни­ченных кванторов.

19. Выразить ограниченные кванторы при помощи форм} 1, содержащих лишь кванторы по всей предметной области. ▲

Сделаем еще несколько упражнений на запись опреде­лений в виде формул логики предикатов и построение отри­цаний этих формул.

12.20 ¹). Записать в виде формул логики предикатов определения:

а) функции f(x), непрерывной на (0, 1);

б) функции f(x), разрывной на (0, 1);

в) функции, равномерно непрерывной на (0, 1);

г) функции, непрерывной, но не равномерно непрерыв­ной на (0, 1);

д) последовательности функций f_n(x), сходящейся на (0, 1);

е) последовательности функций равномерно схо­дящейся на (0, 1);

ж) последовательности функций f_n(x), сходящейся на (0, 1), но не сходящейся равномерно. ▲

7. Кванторы по предикатным переменным. Отметим простейшие ситуации, когда естественно прибегать к кван­торам по предикатам. Это иногда бывает удобно, если надо охарактеризовать какой-либо индивидуальный предикат. Так, предикат тождественного равенства х=у однозначно задается требованиями:

Ух(х=х)\

VAyxyy (х=у (А (х) -> А (у))).

21. Показать, что на всякой предметной области 9)1 единственный предикат х=у, удовлетворяющий двум пере­численным условиям,— это предикат тождественного ра­венства. ▲

Другая возможность — это характеризовать при помощи формул с кванторами по предикатным переменным какое- либо множество предметных областей. Приведем простей­ший пример.

21. Показать, что высказывание

уАухуу (А (х) V Ajyjj

истинно для областей, состоящих из одного элемента, и только для них. ▲

Вообще формулы, содержащие кванторы как по пред­метным, так и по предикатным переменным, используются для характеристики какого-либо множества предметных областей с фиксированными индивидуальными предикатами на них (сигнатурой). Система таких формул называется системой аксиом, а удовлетворяющие этим аксиомам мно­жества с индивидуальными предикатами — интерпрета­циями системы аксиом.

21. Охарактеризовать при помощи аксиом области, содержащие а) более одного элемента; б) не более двух элементов; в) два элемента; г) конечные области; д) беско­нечные области. ▲

22. Показать, что совокупность всех конечных об­ластей (а также всех бесконечных областей) нельзя охарак­теризовать аксиомами, содержащими только одноместные предикаты. ▲

Приведем в качестве примера систему аксиом, характе­ризующую натуральный ряд. Натуральным рядом назы­вается предметная область Ш, снабженная индивидуальным предметом 0, индивидуальными предикатами х= у, х<^у, для которых удовлетворяются приводимые ниже аксиомы 1) — 6). В аксиомах используются следующие обозначения для предикатов:

х^у = х <У V х = у; о(х, у) = х < у & \/z (г ^ х V У ^ г);

о(х, у) — это предикат «у непосредственно следует за х».

Все переменные -— предметные и предикатные,— не свя­занные кванторами в следующих формулах, предполагаются связанными кванторами всеобщности, с которых эти фор­мулы должны начинаться.

Аксиомы натурального ряда

1. х — х\

2. х=* у-+(А(х)-*-А(у)У,

3. х<х\

4. х<у-+ (у<г-+- а'< г);

5. Зуо(х, у) & Vг(о(х, г)-+г = у);

6. А (0) & (А (х) & о(х, у) А (у)) ->■ А (г).

Аксиомы 1), 2) определяют предикат тождественного равенства, и они уже обсуждались; аксиомы 3), 4) означают, что в ^ЧХН предикат х<Су вводит отношение порядка; аксиома

5. — что существует единственный непосредственно следую­щий элемент; аксиома 6) — это так называемая аксиома полной индукции: если некоторое утверждение верно для О и из его справедливости для х следует справедливость для непосредственно следующего элемента, то это утверждение верно для всех элементов 'IU. Можно показать, что все интерпретации аксиом 1) — 6) в некотором естественном смысле изоморфны, т. е. натуральный ряд единственен с точностью до изоморфизма. Подробнее об аксиоматике натурального ряда можно прочитать в книгах [1] и [2].

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 12

1. 2”*.

2. Эта формула не будет равносильна 1 уже на области из двух элементов.

3. а) Ввести на натуральном ряде предикаты:

А(х) ■— делиться иа 12 (т. е. А(х) ~ 1 тогда и только тогда, когда х делится на 12);

В(х) — делиться иа 2;

С(х) — делиться на 4;

D(x) — делиться иа 6.

б) На множестве людей ввести предикаты:

А(х) — жить в Швейцарии;

В(х) — владеть французским языком;

С(х) — владеть итальянским языком;

D(x) — владеть немецким языком.

в) На множестве функций (определенных на данном отрезке) ввести предикаты:

A(f) — быть непрерывной функцией (на данном отрезке);

B(f) — сохранять знак;

C(f) — обращаться в нуль.

Другая возможность: можно ввести, кроме A(f), предикаты на поле вещественных чисел: х£ [0, 1] — принадлежать отрезку [0, 1]; JtSsO; je=0.

4. В тех случаях, когда это возможно, мы будем пользоваться для элементарных предикатов обычно употребляемыми обозначениями. Введем следующие предикаты:

а) двухместный предикат /(а)=0, где / принадлежит предметной области полиномов от одной переменной с вещественными коэффициен­тами, а — предметной области комплексных чисел;

б) трехместный предикат А(х, у, z) — точка г лежит между точка­ми х, у; двухместный предикат х £ I — точка х принадлежит прямой /; двухместный предикат х— у — точки х и у совпадают;

г) А(х, у) — студент х выполнил лабораторную работу у\

д) ^Х\У — натуральное число у делится на х\

А(х) — быть простым числом (впрочем, этот предикат можно выра­зить через х]у и х = у).

5. Показать, что результат применения квантора к бесквантор­ной формуле с индивидуальными одноместными предикатами может быть записан через те же предикаты в бескванторной форме. Дальнейшее доказательство проводится по индукции.

6. Ввести одноместные предикаты, равные 1 иа единственном элементе.

7. Необходимое и достаточное условие представимости: мно­жество истинности (наборы значений аргументов, при которых предикат равен I) является объединением конечного числа прямых произведений подобластей (подмножеств) исходной области. В частности, двухместный предикат тождественного равенства (совпадения) х=у на любой беско­нечной области не представим в указанном виде

8. Проверяется непосредственно по определению.

9. Импликация v*MWvB(x)) -> ууА(у)\/ \/г В(г) может быть ложной.

10. Проверяется непосредственно.

11. Истинность высказывания v* Vy А(х, у) означает, что пре­дикат А(х, у) истинен для всех пар (х, у), а истинность 3x3у А(х, у) означает истинность А(х, у) хотя бы для одной пары (х, у).

12. Рассмотреть, например, предикат х<у на натуральном ряде.

13. Учесть, что множество истинности предиката А(х, у) — некоторое множество на плоскости (х, у).

14. Сформулируем высказывания, истинность которых нужно установить:

чА(х) имеет место не для всех х тогда и только тогда, когда сущест­вует х, для которого А(х) не имеет места»;

«Не существует х, для которого А(х) имеет место, тогда и только тогда, когда /4(х) не имеет места для всех х».

Справедливость этих утверждений очевидна, что, однако, не мешает довольно часто допускать ошибки при расшифровке отрицаний кван­торов. Часто при отрицании сохраняют тот же квантор («Не все кошки серы» — «Все кошки не серые»),

15. а) Vx vy (Р (х) & Q (у))'. ^б) Зх 3у (Р (х, у, г) & Q (х, у)) &

& VtBv (А (/) & В (у)).

16. Записать определения самодвойственных и монотонных функций в виде формул логики предикатов и привести отрицания этих формул к почти нормальной форме.

17. Напомним, что число А является пределом последователь­ности а_г, а_г, .... а_п, ... (lim ci_n = А), если для всякого е>0 сущест-

П-* 03

вует такое натуральное N, что |а_п—А|<е при п> N. Записать вначале в виде формулы логики предикатов высказывание, что последователь­ность (о_п) имеет предел.

18. б) Зх Vi/ Vt3u (Р (х, у, z)&Q(x, у)&А (t) & В (и)).

12.19 v_SJ!»xA(x) = vx (х £ ЭЛ' —)- А (х)) = V* (х ЯЛ V А (х));

З_т-х А(х) = Зх (х£9Л'&А (х)).

Эти равносильности проверяются непосредственно.

20. а) Напомним, что Дх) непрерывна в точке х₀, если lim f (х)

к — х₀

существует и равен Дх₀), т. е. для всякого е>0 существует такое 6>0, что если ‘X—х₀|<6, то |/(х)—/(х₀)|< е. Функция непрерывна на интер­вале (0, 1), если он I непрерывна в каждой точке интереэла (0, 1).

б) Построить отрицание предыдущей формулы.

в) Функция равномерно непрерывна на (0, 1), если 6> 0, фигури­рующее в определении непрерывности, можно выбрать по е > 0 одним и тем же для всех точек интервала.

д) В каждой точкех£(0, 1) сходится последовательность значений функций.

23. Легко построить формулы, содержащие индивидуальный пре­дикат тождественного равенства, имеющийся в произвольной области. Попытайтесь также получить формулы, не содержащие индивидуальных предикатов.

г) Рассмотрите формулу

уАзхЭуЗгуи (Л (х, х) V А (х, у) А (у, г) А (х, г) V А (х, «)).

23. Можно считать, что аксиомы содержат только связанные переменные (предикатные и предметные), т. е. являются высказываниями для каждой области. Переходя к конъюнкции аксиом, можно считать, что мы имеем одну аксиому. Показать, что если некоторая формула без свободных переменных, содержащая лишь одноместные предикаты, истинна для какой-то области ЭЛ, то она истинна для некоторой конечной области ЭЛ.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 12

1. Число одноместных предикатов на некотором множестве ЯЛ равно числу подмножеств этого множества (каждому предикату ставится в соответствие множество элементов, на которых он равен 1), т. е. на множестве из п элементов имеется 2" одноместных предикатов. Далее, можно воспользоваться тем, что /г-местные предикаты на ЯЛ можно рас­сматривать как одноместные предикаты на /г-критном прямом произве­дении множеств ЭЛ, т. е. на области из п‘ элементов.

2. Пусть ЭЛ состоит из элементов а, b и A{a)=0, A(b) 1.

3. а) V* (Л (х) —>- В (х) С (х) D (х));

б) vx (А (х) —г- В (х) V С (х) V D (х));

в) Vf(A (/)—-B(/)VC(/)).

Другой вариант:

V/ (A (f) —». V*Vi/ (* е [0,1 ] & у £ [0Л] —*/ (х) / (у) > 0) V3Z (/(г) = 0)).

4. a) v/Va (f (а) = 0 —> f (а) = 0);

б) vxvyvl (х£/ & у£1 & х=у —>. зг (г£/ & А(х, у, г)&х=г & у=г))\

в) Vxvy (х = у (x£P&y£P&vQ(x£Q&y£Q—>-P = Q)));

г) vx 3у А (х, у);

д) vxvy vz (г \ху & А (г) —> z\xvz\y).

Имеем А (г) = vx (x\z—>x = zvx = 1).

е) vxvyvz (3l(x£l&y£l&z£t)-^3U(x£U&y£U&z£U&W{x£V& &(/£V&z£V—? U = V))); x, y, z—точки, I — прямые,

U, V—плоскости.

Заметим, что во всех рассмотренных примерах мы имели дело с вы­сказываниями, а потому в полученных формулах все предметные пере­менные связаны.

12.Б. Итак, пусть S8 — бескванторная формула, содержащая ин­дивидуальные одноместные предикаты А_1г . . ., А_т и предметные пе­ременные Xi х_т. Тогда существует функция алгебры логики ф(Х,-у) (i=l, . . tn, j= 1, . . n) ¹) такая, что® (*i *„) = q> (A₁(x₁), . . .

..A_m ta); ..Ay (x_n), A_m (х_и)). Предметные постоянные мы не учитываем, так как индивидуальные предикаты от них можно за­менить логическими константами (0 или 1). Мы формально считаем входящими в 33 все предикаты A i(xj). Рассмотрим:

*23 (^il ^12» - • Xm2 ^lni • • ■* ^ тп)

= <p(/4i{Xi), •••) (^i), ^12> ^/л2» ■■■» ^l/i* ^ тп)'

Тогда Q^sS—функция алгебры логики т]'(Л',у) (/= 1, . . ., т\ /= ==2, . . ., п) ²) и

О*!© (*i х_п) = ^(Ау (х₂), ..А_т (х₂); ...-.Ау (х_п), ..., А_т (х„)).

Справа стоит бескванторная формула.

Случай нескольких кванторов рассматривается по индукции.

6. Предикат определяется множеством истинности (множеством наборов значений аргументов, при которых предикат равен 1). Удобно ввести предикаты

_{б (x)==}f 1. если х = а, ^а > \ 0 в остальных случаях.

Для этого предиката множество истинности состоит из единственного элемента а. Поскольку предикат 6₀ (х,) . . . ё_Пп(х_п) равеи 1 на единст­венном наборе (а, а_п), а дизъюнкции предикатов отвечает объеди­нение их множеств истинности, то всякий предикат можно получить дизъюнкцией предикатов вида 6_а fo) b_aJx_n).

6. Докажем утверждение, сформулированное в указаниях.

Необходимость. В силу задачи 12.5 можно ограничиться

бескванторными формулами. Формула является функцией алгебры ло­гики от индивидуальных одноместных предикатов. Представим ее в виде ДНФ. Переходя в случае необходимости к новым одноместным преди­катам, можно считать, что каждый член дизъюнкции является конъюнк­цией одноместных предикатов, зависящих от различных предметных переменных (новые предикаты являются коньюнкцией предикатов, входящих в какую-то элементарную конъюнкцию и зависящих при этом от одной и той же переменной; достаточно рассмотреть все элементар­ные — не обязательно полные — конъюнкции предикатов, входящих в формулу). Ясно, что множество истинности такой конъюнкции является прямым произведением множеств истинности входящих в конъюнкцию предикатов. Всей формуле отвечает объединение этих прямых произве­дений.

Для доказательства достаточности заметим, что соответствие между конъюнкциями одноместных предикатов от различных переменных и прямыми произведениями подмножеств предметной области взаимно однозначно. Объединению прямых произведений отвечает дизъюнкция конъюнкций.

Решение задачи 12.6 по существу состояло в том, что в случае конечной области мы разбивали множество истинности в объединение одноэлементных множеств, являющихся, конечно, прямыми произве­дениями.

Множество истинности предиката х=у состоит из «диагонали прямо го произведения» — множества пар (а, а) (например, прямая х- у на плоскости (х, у)). Единственное разбиение этого множества в объедине­ние прямых произведений — разбиение на одноточечные множества. Поэтому для бесконечного множества конечного разбиения не суще­ствует.

9. Достаточно привести примеры.

1. Пусть А(х) — предикат на натуральном ряде: «быть четным чис­лом»; В(х) — предикат на натуральном ряде: «быть нечетным числом». Тогда высказывание v¹(/4(x)V В(х)) — «всякое натуральное число чет­ное или нечетное» — истинно. Однако высказывание VxA(x)V у у В(у)— «всякое натуральное число четно или всякое натуральное число нечет­но» — ложно (каждый член дизъюнкции ложен).

Аналогично из того, что «все школьники пошли в кино или в театр.», не следует, вообще говоря, что «все школьники пошли в кино или все школьники пошли в театр» (они могли пойти в разные места: некоторые в кино, а другие — в театр).

Вообще, как легко проверить, всегда истинна импликация

VxA (x)WyB (у) —>. vz (А (г) v В (г)), однако импликация

Vx (А (х) v В (х)) —„ VI//1 (у) v VzB (г)

может быть ложной.

2. Аналогично рассматривается вопрос о другом дистрибутивном законе. Из того, что «существует мальчик с голубыми глазами и сущест­вует мальчик с карими глазами», не следует, конечно, что «существует мальчик с голубыми и карими глазами одновременно». Таким образ< м, импликация

Эх А (х) &3 уВ (у) —> 3z (Л (г) & В (г)) может быть ложной, в то время как импликация

Зх (А (х) & В (х)) —* ВуА (у) & 3гВ (г),

конечно, всегда истинна.

12. На натуральном ряде высказывание \/х^у(х>у) (для вся­кого натурального числа существует большее) истинно, а высказывание ЗуУх(х<у) ложно, так как не существует наибольшего натурального числа. Аналогично верно, что «каждую книгу читал какой-либо человек» (например, автор!), хотя не верно, что «существует человек, который чи­тал все книги».

Можно проверить истинность импликации

3xvyA (х, у) vz/ЗгЛ (х, у) *),

в то время как обратная импликация может быть ложной.

12. 1. Предикат \/уА(х, у) равен 1 для тех х₀, для которых вертикальная прямая х=х₀ содержится в множестве Л(х, у). Высказы­вание 3^у\/уА(х, у) истинно, если множество истинности для А(х, у) содержит какую-либо вертикальную прямую.

2. Предикат дхЛ(х, у) равен 1 для тех у, которые содержатся в проекции множества истинности А(х, у) на ось у.

Поэтому высказывание Vy3xA(x, у) истинно, если проекция мно­жества истинности предиката Л(х, у) на ось у совпадает со всей осью.

Эти примеры иллюстрируют, что истинность 3х>/уА(х, у) влечет истинность ууЗхА(х, у), однако обратное, вообще говоря, неверно (мож­но рассмотреть предикат равенства, которому отвечает прямая х-у).

15. a) vxvУ(Р(х) —>- Q(y))=Vxvy(P(x) VQ(y))—VX\/y(P(x)&Q(y)); б) Эх(уу(Р(х, у, г) &3uQ (х, u))) & Vt3v (A (<)VB (f)) =

= Зх (vy (Р (х, у, z) & V!iQ (X, и))) & V13V (A (t) & В (!')) =

= 3*Vy (Р (х, у, z)&Q (х, и)) & ytjv (А (() & В (г)).

На последнем шаге мы воспользовались распределительным свойством квантора всеобщности (однако это делать не обязательно, так как почти нормальная форма была уже получена на предыдущем шаге).

15. 1) (задача 3.6). Запишем определение самодвойственной функ­ции. Функция / самодвойственна, если

va (f (a) = /(«)).

Квантор берется по множеству двоичных наборов а соответствующей длины; а — противоположный набор. Тогда /—несамодвойственная

, т. е. если

то же, за(/ (а)=/(а))•

2) (задача 5.1). Определение монотонной функции:

va vP (а -с р —► / (a) < f (Р)).

Поэтому / — немонотонная функция, если

yavP (a X Р —-»■ 7(«X1 (Р)) = ЗаЗР (a (а)</ (P)j

= ЗКЗР (аР& / (а)</ (Р)) = ЗазР (а-К Р & / (а) > / (Р)).