§ II. Многозначные логики

Рассмотренная' в предыдущих параграфах д в у з н а ч- н а я логика допускает обобщение на k-з н а ч н ы й слу­чай. По аналогии с определением 2.1 дадим

Определение 11.1. Функция f(x_и . . ., х_п) назы­вается функцией k-значной логики, если ее аргументы определены на множестве {0, 1, . . ., k—1}, состоящем из /г элементов, и сама функция принимает значения из того же множества.

Множество всех функций А-значной логики обозначим через Р^/г. Случай k>2 оказывается существенно более сложным, чем рассмотренный нами случай &=2; общий случай во многом не похож на этот частный случай. Мы коснемся здесь немногих вопросов, в которых в основном можно проследить аналогию с двузначной логикой, и лишь отметим некоторые из имеющихся отличий ¹).

1. Найти число функций £-значной логики, завися­щих от п переменных. ▲

Попытаемся обобщить совершенную дизъюнктивную нормальную форму на &-значный случай. Это можно сделать не вполне единственным образом. Мы советуем читателю перед тем, как читать следующее далее описание одного из возможных путей, самому подумать над этим вопросом.

Напомним, что СДНФ для функции f(x_u . ., х_п) при &=2 имеет вид

f{x 1, ...,*„)= V/(81, ....

где дизъюнкция берется по всем двоичным наборам (мы рассматривали и другую форму СДНФ, в которой дизъюнк­

ция бралась лишь по наборам, на которых /(6)=1, но она не удобна для обобщения).

Существенную роль в СДНФ играют элементарные конъ­юнкции 4¹ &.. .&4", которые отличны от нуля лишь на одном наборе (6_Ь . . ., 6_П). При этом все они получаются из конъюнкции, отвечающей единичному набору, подста­новкой функций от одной переменной х^ъ.

Аналогом единичного набора в общем случае для нас будет набор (k— 1, k—1, . . k—1). Положим

ъ_\к—1, если x=b\

10, Если хфЬ.

Получаем k функций от одной переменной, соответствующих 6=0, 1, . . ., k—1. Назовем конъюнкцией k-значной логики функцию

х_х & ... &x_k = min(x_t, л^)¹).

Ясно, что тогда элементарная конъюнкция

ЛГж* & ... & Xk*

будет обладать требуемым свойством (она отлична от нуля лишь на наборе (6_Ь . . ., b_h) и равна k—1 на этом наборе). Полагая аналогично

x,V ... У х_п — шах (Xj, ..., х_п), мы можем построить аналог СДНФ в &-значной логике.

2. Доказать, что всякая функция &-значной логики единственным образом представляется в виде

f(x_v ..., х„) = Va_d&Xi‘& ... &х%^п,

где дизъюнкция берется по всем &-значным наборам б=(бх 6„) длины п. При этом коэффициенты обяза­тельно имеют вид

Об="/(^б1- •••> ^б«)- ▲

По аналогии с двузначной логикой будем называть полученное представление СДНФ.

8. С какой полной системой функций А-значной ло­гики связано представление функций в виде СДНФ ²). А

Из задачи 11.3 следует, в частности, что совокупность всех функций от двух переменных является полной системой. Ясно, что совокупность всех функций от одной переменной не является полной системой (они образуют функционально замкнутый класс).

4. Показать, что система функций, состоящая из всех функций от одной переменной и функции х \/у, являет­ся полной. ▲

В задаче 11.4 можно брать не все функции от одной пере­менной; например, достаточно функций л^(б—0, 1,..., k—1), х и констант. Рассмотрим другой пример. Пусть

Тогда е_{и A}_₁(-’^-)=л:^,.

4. Показать, что система функций, состоящая из всех функций e.ij(x) и функции х\/у, является полной. А

Оказывается, что здесь можно даже ограничиться одной функцией от одной переменной х+1 (сложение всюду про­водится по модулю /г).

4. Показать, что система функций {х\/у, 1} полна (и даже является базисом). А

Исходя из задачи 11.6, легко построить аналог функции Шеффера для &-значной логики (функцию Шеффера — Вебба):

x\J у+ 1.

4. Доказать, что система, состоящая из одной функ­ции х\/у+1, является полной. А

В £-значной логике можно также рассмотреть вопрос

о представимости функций полиномами¹) (аналогполино- мов Жегалкина). При этом оказывается, что такое пред­ставление возможно лишь для простых k.

118 Показать, что всякую функцию &-значной логики можно представить полиномом по модулю k, если k — про­стое число.

8. Показать, что в &-значной логике для составного k имеются функции, не представимые полиномами по мо­дулю /г. ▲

Посмотрим, к какому виду можно привести полином, представляющий функцию ^-злачной логики (k — простое число). Во-первых, ясно, что можно считать коэффициенты заключенными между 0 и k—1 (они являются целыми чис­лами); во-вторых, в силу известной из теории сравнений малой теоремы Ферма [2]

х^к == х (mod k)\

поэтому можно сказать, что все переменные входят в сте­пенях, не превосходящих k—1.

8. Показать, что представление функций й-значной логики (k — простое число) в виде полиномов, обладающих двумя перечисленными свойствами, единственно. А

9. С какой полной системой связано представление функций полиномами в &-значной логике \k —■ простое число)? А ‘

Мы дадим ниже обзор результатов о предполных классах в &-значной логике, а пока докажем существование конечного числа предполных классов и укажем алгоритм построения конечного числа классов, среди которых содержатся пред- полные (теорема А. В. Кузнецова). Впрочем, уже при k—3, 4 этот алгоритм требует огромных выкладок, не по­зволяющих получить явное перечисление предполных классов.

Начнем с совсем простого замечания.

8. Доказать, что всякий базис в &-значной логике конечен. ▲

Перейдем к описанию алгоритма для построения пред­полных классов в &-значной логике.

Определение 11.2 Пусть Ф — некоторая сово­купность функций, зависящих от одних и тех же перемен­ных: <pi(*x х_г), . . ., ф_т(*1, . . х_г), . . . Будем гово­рить, что некоторая функция f(y_u . . ., //„) сохраняет множество Ф, если после замещения всех ее аргументов функциями из Ф получается функция, также принадле­жащая Ф.

Рассмотрим все подмножества множества функций от двух переменных х и у, содержащих функции х и у и не совпадающие с множеством всех функций. Ясно, что имеется конечное число таких множеств.

Множество Ф указанного вида назовем замкнутым, если оно содержит все (с точностью до переименования переменных) функции от двух переменных, которые могут быть получены из его элементов при помощи суперпозиции (другими словами, множество Ф совпадает с пересечением множества функций от переменных х, у и функционально замкнутого класса, порождаемого Ф).

8. Построить алгоритм, позволяющий выяснить во­прос, является ли некоторое множество Ф замкнутым. ▲

Пусть Ф_х, Ф₂, . . ., Ф_Л — все замкнутые множества функ­ций от х н у. Для каждого из этих множеств Ф₍ обозначим через T_t совокупность всех функций &-значной логики, сохраняющих Ф_г. Ясно, чтоФ;с:7'_; (ввиду замкнутости Ф₍). У нас имеется алгоритм, позволяющий выяснить, входит ли функция f в Tj или нет.

8. Доказать, что множества T_t являются функцио­нально замкнутыми классами. ▲

9. Показать, что система Ф функций &-значной ло­гики полна тогда и только тогда, когда Ф не содержится целиком ни в одном из классов T_t. А

Класс T_t назовем максимальным, если он не содержится ни в каком другом из этих классов. Пусть Q,, . . ., Q_t — максимальные из классов 7\-.

8. Показать, что Q_u . . ., Q_t — это все предполные классы в &-значной логике. ▲

Итак, доказана конечность числа предполных классов и указан способ их построения. Отметим, что этот способ не является алгоритмом. Указан алгоритм построения клас­сов T_t (точнее, получения описания этих классов). Но за­ранее не ясно, имеется ли алгоритм для выбора максималь­ных классов Qj, так как хотя классов T_t конечное число, сами классы бесконечны и не ясно, имеется ли алгоритм для выяснения вопроса, содержится ли один из этих клас­сов в другом (из включения ФхСгФг нельзя, вообще говоря, сделать вывода о взаимоотношении 7\ и 7’₂). Исходя из проведенных рассуждений, можно оценить сверху число предполных классов в &-значной логике. Оно меньше числа подмножеств множества функций от двух переменных, т. е. меньше 2^ftfc\ Эта величина очень быстро растет с ростом k.

Приведем перечень предполных классов в 3-значной ло­гике, найденных С. В. Яблонским [1].

Начнем с аналогов классов Р₀ и Р_х двузначной логики:

1. Р₀ — функции, сохраняющие 0;

2. Р_х — функции, сохраняющие 1;

3. Р₂ — функции, сохраняющие 2.

Имеются еще и другие аналоги классов Р₀ и Р_х:

4. Р{о, i} — функции, сохраняющие множество {0, 1}, т. е. на наборах, состоящих из 0 и 1, они принимают зна­чения 0 или 1;

5. Р{о, ₂} — функции, сохраняющие множество {0, 2);

6. Р{.,₂} — функции, сохраняющие множество {1, 2}. Поскольку 3 — простое число (см. стр. 248), имеется

7. L — класс линейных функций.

В 3-значной логике имеется несколько классов монотонных функций (из-за того, что можно различными способами упорядочивать числа 0, 1, 2):

8. Мх — функции, монотонные относительно порядка 0< 1 <2;

9. M_s — функции, монотонные относительно порядка 1 < 2< 0;

10. М₃ — функции, монотонные относительно порядка 2<0< 1.

Остальные упорядочения не приводят к. новым классам.

Аналогично различными способами в 3-значной логике можно вводить понятие двойственности. Его можно связы­вать с любой подстановкой s(x) чисел 0, 1, 2:

ft (¹1 х_п) = s^-1 (/ (s (jcJ, .. ., s (*„))) *).

Однако не все подстановки приводят к преднолным само­двойственным классам. В трехзначной логике таковой яв­ляется лишь подстановка лг—*-дс+1 (в &-значной логике предполных самодвойственных классов больше; их можно все описать Ш). Итак,

11. S_x+1 — самодвойственные функции от носительно под­становки Х-+Х+1.

Далее, укажем еще три класса, являющиеся более тон­кими аналогами классов Р₀ и двузначной логики:

12. Р₍₀₁₎ — функции, которые для всякого набора a={ai, . . а_п), состоящего из 0 и 1, на всех наборах Р, не совпадающих с а ни в одном разряде, не принимают либо значения 0, либо значения 1 (это значение может зависеть от набора а);

13. класс Р_{(0 2)} получается из P_{i0 lt} заменой пары (0, 1) на (0, 2);

14. аналогично строится класс Р₍₁,₂₎.

Теперь укажем классы, которые не имеют аналогов при k=2 (их точные аналоги совпадают с множеством всех функций алгебры логики);

15. класс U„ состоит из функций, которые на любой совокупности наборов, у которых в некоторых фиксирован­ных разрядах стоят нули, а в остальных их нет, либо не принимают значения нуль, либо равны нулю на всех этих наборах;

16. класс и_х связан с 1 так же, как U₀ с 0;

17. класс U₂ аналогичным образом связан с 2.

И, наконец, еще один класс, не имеющий аналога при k=2 (формально при k=2 приводимое ниже определение дает класс функций от одной переменной):

18. С — класс, состоящий из всех функций, существенно зависящих не более чем от одной переменной, и функций, не принимающих, по крайней мере, одного значения.

Это полный перечень предполных классов трехзначной логики. В задаче о предполных классах в силу теоремы

А. В. Кузнецова (задача 11.16) можно все свести к перебору, связанному с функциями от двух переменных. Этот факт можно еще уточнить. Просматривая перечень предполных классов в 3-значной логике, можно заметить, что лишь класс С содержит все функции от одной переменной; более того, все остальные классы не замкнуты относительно подстановки функций от одной переменной. Оказывается, что этот результат имеет место для любого k. Именно, имеет место теорема Слупецкого (см. (И), в силу которой система

функций, содержащая все функции от одной переменной и функцию, существенно зависящую более чем от одной пере­менной и принимающую все ft значений, полна. Отсюда следует, что в ft-значной логике имеется лишь один пред- полный класс, содержащий все функции от одной перемен­ной, Нахождение остальных предполных классов может бып проведено, исходя из подмножеств множества функцнй от одной переменной. При этом можно улучшить оценку для числа предполных классов: их меньше, чем 2^к'\ Таким образом, задачу о нахождении числа предполных клас­сов можно свести к перебору в множестве функций от одной переменной (число которых k^k сильно растет с ростом ft).

Имеются работы (см., например, [31), в которых выяс­няется, какого запаса функций от одной переменной до­статочно в теореме Слупецкого.

До недавнего времени предполные классы в ft-значпой логике были известны лишь при k=2, 3. Имелась даже гипотеза, что не!' описания множества предполных классов для любого ft, существенно более эффективного, чем описа­ние, данное в теореме Кузнецова. Именно, казалось, что число типов предполных классов растет с ростом k и даже описание типов классов невозможно без большого перебора. В 1965 г. И. Р о з е н б е р г [51 сообщил результат, содер­жащий существенно более явное, чем ранее известные, описание предполных классов в ft-значной логике. Оказа­лось, что имеется шесть типов таких классов, большая часть которых уже была известна. Это классы самодвой­ственных функций для различных подстановок, найденные в 11.1; классы монотонных функций для различных частич­ных упорядочений набора {1, 2, . . ., ft} (все они приводят к замкнутым классам, но не все к предполным; предполные монотонные классы найдены в [4]). Мы обсуждали выше представление функций в ft-значной логике для простого ft полиномами по модулю ft, в результате чего для простого ft имеется предполный класс линейных функций. Оказывается, чго если ft — степень простого числа, то существует пред­ставление функций, обобщающее представление функций полиномами; при этом возникает предполный класс квази­линейных функций. Другие типы классов обобщают классы типов Р, U в трехзначной логике; имеются еще некоторые классы, связанные с классом Слупецкого.

|

В. [6) сообщается, что доказательство результатов [5] удается восстановить и исследуются предполные классы

при k^.8. Найденное число предполных классов M_h, а также число классов с точностью до эквивалентности Л4_к (классы считаются эквивалентными, если один из них получается из другого при некоторой перестановке чисел (1, 2, k}) указано в приводимой ниже таблице. Для полноты мы включили в таблицу N_k, M_k при k=2, 3.

k	Nk	М,
2	5	4
3	18	8
4	80	16
5	667	34
6	15237	107
7	7854724	> 2000
8	> 51011	—

Найдена асимптотика для N_h, М_к при больших k. Оказа­лось, что

N_b

Ak- 1/2] 6(k)k-2^k~^l ;

M_t

Nk k\ '

где б (/г)--1 для нечетных k, S(k)—2 для четных k. Из этих результатов следует, что перечисление всех классов требует большого перебора, хотя его порядок сильно уменьшен. Кроме того, окончательно выяснена природа всех предпол­ных классов.

Мы говорили здесь лишь о предполных классах, ничего не говоря о всех функционально замкнутых классах. Ока­зывается 171, что при k > 2 имеется континуум функциональ­но замкнутых классов (напомним, что при k=2 их счетное число). Отметим, что опять-таки число классов, содержащих все функции от одной переменной, конечно, и они могут быть эффективно описаны. Тут ситуация несколько напо­минает то, что мы видели при k=2 для расширенной су­перпозиции. Там всесильно упрощалось при наличии кон­стант; при k>2 констант уже недостаточно. Однако если имеются все функции от одной переменной, то задача упрощается.

1. Ответ. к^к". См. задачу 2.2.

2. Доказательство полностью аналогично доказательству при k=2 (см. § 2).

4. Воспользоваться задачей 11.3. Рассмотреть функцию от одной переменной

x=k—1—х.

4. Показать, что всякая функция от одной переменной выра­жается через XVу и е_;у(х).

5. Выразить е,у(х) через XVу и х+1. Ясно, что из х+1 можно по­лучить х+а для любого а. Вначале выразить х', а затем произвольную функцию e;j(x) (напомним, что xvу= max (х, у)).

4. Можно доказать возможность представления индукцией по числу переменных. При этом более сложная часть — это рассмотрение функций от одной переменной (приходится исследовать систему линей­ных уравнений, определитель которой является определителем Вандер- монда). Несколько проще следующий путь.

1. Показать, что всякую функцию ец(х) можно представить поли­номом. При этом удобно воспользоваться теоремой Безу и следующим известным фактом из теории сравнений: сравнение ахз=Ь(тод р), где р — простое число, разрешимо для любого Ь, если а^О (mod р).

2. Показать, что для всякой функции справедливо представление

f(x ^xn) = ^j,f (вц •••« *„) V - •**»!•

где суммирование ведется по всем наборам длины п (сложение и умно­жение понимаются в арифметическом смысле).

4. Показать, что функция е_;1(х), где i не взаимно просто с к, не представима полиномом р_;(х). Воспользоваться тем, что если для по­линома с целыми коэффициентами Р(а)з»0 (mod к), где а — целое число, то P(x)=Q(x)(x—а) (mod к), где Q{x] — полином с целыми коэффициен­тами (теорема Безу в кольце вычетов по модулю к\ для доказательства нужно разделить Р{х) на х—а и заметить, что остаток делится на к). Учесть также, что сравнение <w= 1 (mod к) не имеет решений, если наи­больший общий делитель а и к больше 1. Можно рассуждать, следуя плану решения задачи 11.8.

5. Доказывается аналогично доказательству единственности представления функций алгебры логики полиномами Жегалкина (за­дача 4.4).

12. Воспользоваться наличием в /г-значной логике функции Шеффера — Вебба.

13. Пусть Ф_т—множество функций от переменных хну, ко­торые могут быть получены суперпозицией функций из Ф ие более чем за т шагов; Ф_тсцФ_п при т<п. Ясно, что замкнутость множества Ф равносильна тому, что все Ф_т совпадают с Ф. Показать, что для замкну­тости Ф необходимо и достаточно, чтобы множества Ф иФ, совпадали.

14. Проверяется непосредственно, исходя из определений.

15. Пусть /?(Ф) —функционально замкнутый класс, порожден­ный Ф. Показать, что /?(Ф) содержит все функции от переменных хну.

16. Ясно, что в формулировке задачи 11.15 можно заменить классы Тi на Q.-. Дальнейшие рассуждения аналогичны решению задач 6.17 — 6.19.

1. Число ft-значных наборов длины п равно к^п. Число функций от п переменных равно числу наборов длины к^п.

2. Подставим в функции, стоящие с обеих сторон, набор сг= =(a_lt . . ., <т_п). В ft-значной логике конъюнкция, у которой один из чле­нов равен нулю, равна нулю (см. определение). Поэтому в правой части может быть отличен от нуля лишь член, отвечающий 6=ст, т. е.

. .&#*. Он, в свою очередь, будет равен а„&(к—1)=а_а, т. е. обязательно a_a=f(c), а если коэффициенты имеют такой вид, то наша форма действительно представляет /(х_1г . . ., х_п). Единственность можно установить, заметив, что имеется ft^fc" различных СДНФ от п переменных.

3. Полная система: х&у, XVу, х' (6=0, 1, . . ., к—1); константы

0. к—2. Нужно лишь заметить, что из конъюнкции двух пере­менных можно получить конъюнкцию любого числа переменных (и аналогично для дизъюнкции). Особо отметим необходимость констант, чего не было при ft=2, так как там можно было в СДНФ опустить коэф­фициенты, перейдя к дизъюнкции по наборам, на которых /(6)= 1 ■

4. В силу задачи 11.3 достаточно показать, что функция х&у выражается через х\Гу и функции от одной переменной. Как и при к=2, имеем:

х&у = х\/у,

что непосредственно следует из определения этих функций в ft-значной логике.

5. Пусть f(x) — функция от одной переменной. Имеем:

f(x)= V Щ /(/> (х).

0</<fc-l

6. Имеем:

х'=1 + V (*+а).

о<а<:£-1

a&k-l+i

Действительно, V (л+в)=тах (х+а) будет равна к— 1 при д:// и правая часть равна в этом случае 0 (по модулю к). При x=i имеем V (х+а)= —k—2 и правая часть равна k—1.

Далее,

«,/(*) = [*' V (к—/ —1)1+/+1-

Действительно, функция x'v(k—/—1) равна к—1 при х=1 и равна к—j—1 в остальных случаях.

Наконец, ясно, что ни одна из этих функций не образует полной системы, так как х+1 — функция от одной переменной, а функция хУ у сохраняет нуль (эти свойства, как легко заметить, являются наследст­венными и в fe-значной логике).

7. Имеем x+l=*Vx+l; ХУy=(xVy+l)+(k— 1).

8. 1. Попытаемся найти полином /■,(*) степени р, представляю­щий e_it(x), т е. совпадающий (по модулю р) с е_а(х) при х—0, 1 р—

—1. Для того чтобы г;(/)=0 (mod р) при / Ф i (0 < / < р—1), достаточно, чтобы все целые числа j являлись корнями r_t(x) В этом случае нам из­вестно р—1 корней полинома г^х)] все они вещественны, значит, и >й корень а должен быть веществен. Пусть

г,-(х) = (х—я) х (х— 1) (x—j) ... (х— р+1) (/ Ф О-

Тогда а — обязательно целое число, иначе коэффициент полинома r_t(x) при хР^-1 не был бы целым. Осталось учесть, что r_;(i) 1 (по модулю р). Мы получим сравнение

а,- (i—а) з= 1 (mod р),

где а, = JJ (t — j). Поскольку а_г^0 (mod р), то это сравнение можно

i=^=i

решить относительно i—а и найти а.

2. Возможность представления всякой функции в форме, приведен­ной в указаниях к решению задачи, доказывается аналогично предста­вимости в СДНФ. Действительно, произведение ^(х,) ... eg i(^x_n) равно 1 на наборе (6^ . . ., 6„) и нулю на остальных наборах.

Представимость любой функции в виде полинома следует теперь из представимости ец(х).

9. Пусть г_;(х) — полином, совпадающий по модулю k с ец(х). Тогда в силу замечания, имеющегося в указании,

г,- (х) $ q; (х) х (х—I) ... (х—i+l)(*—i—1) ...

... (x—fe+l) + P(*) (mod ft),

где коэффициенты p(x) кратны ft, a (ji(x) имеет целые коэффициенты (до­казывается индукцией по номерам коэффициентов, начиная со стар­шего). Имеем:

^Т1 (')=--= ⁽li (0 я/ (mod ft), а₍ = Д (/ — /),

/ Ф I

т. е. qi(i) должно удовлетворять сравнению а^_г(«)=1 (mod к). Если / не будет взаимно просто с k, то этим свойством обладает также a_t и указан­ное сравнение не может иметь решений.

10. Каждому одночлену от п переменных можно поставить в соответствие набор показателей, в которых все переменные входят в одночлен (переменным, которые не входят в него, ставятся в соответ­ствие нули). В результате получится взаимно однозначное соответствие между одночленами и ft-значными наборами длины п (показатели не превосходят к—1). Тогда полиному ставится в соответствие ft-значный набор (длины kⁿ) его коэффициентов (они также не превосходят k—1).

kⁿ

Число различных полиномов равно ft , т. е. этих полиномов столько же, сколько всех функций в fe-значной логике. Отсюда следует единствен­ность представления.

11. Арифметическое сложение х-{-у, арифметическое умножение ху, константы. Операции рассматриваются по модулю ft.

12. Пусть имеется некоторый базис. Выразим через него функ­цию Шеффера — Вебба х\/у-\- 1. В этой суперпозиции участвует конеч­ное число элементов базиса; с другой стороны, совокупность этих эле­ментов должна совпадать со всем базисом, так как она является полной системой в силу полноты {х\/у Н}-

Замечание. Фактически из проведенного рассуждения сле­дует, что если в некотором функционально замкнутом классе имеется конечная полная система, то любой базис в нем конечен.

13. Докажем индукцией по т, что если Ф_х—Ф, то Ф,„ Ф при всех т. Пусть Ф_га_!=Ф и пусть некоторая функция f получается из функций, входящих в Ф, не более чем за т шагов. На последнем шаге этой суперпозиции в функцию из Ф подставляются функции из Ф_т_1, т. е. из Ф (Ф_т-1—Ф)- Но тогда функция может быть получена за один шаг из функций Ф, т. е. /£Фъ а значит, [£Ф.

Итак, для выяснения вопроса о замкнутости множества нужно по­строить Ф] (построение этого множества проводится в конечное число шагов: нужно перебрать все одношаговые суперпозиции) и сравнить с Ф (оба эти множества конечны).

15. Пусть 1V — совокупность всех функций от х и у, входящих в Я;(Ф). Ясно, что функции из Я(Ф) сохраняют N. Если бы множество N не совпадало с множеством всех функций от х, у, то оно было бы замкну­тым и должно было бы совпадать с одним из множеств Ф_г. Тогда А?(Ф)с czTi, чего не может быть, так как /?(Ф) не содержится ни в одном из классов Т_г.

Для доказательства необходимости заметим, что пересечение Т; с совокупностью функций от х и у совпадает с Ф;, так как Ф; замкнуто и содержит х и у. Значит, Т; не может совпадать с совокупностью Р* всех функций.

15. Достаточно показать, что каждый функционально замкнутый класс содержится в одном из классов Qj. Но это действительно так, поскольку класс, не содержащийся ни в каком из классов Q/, является полной системой, а потому совпадает с совокупностью всех фуикций fe-значной логики.