Ответы и решения к задачам § 5

1. Функция f(x,, . . ., х_п) является немонотонной, если'существует такая пара наборов а и р, что а р и '

/ (cti, ... § <х_п) > / (Рх, , Р_п).

2. а) Будут, так как для любых наборов /(а) = ЯР).

б) ху монотонна, так как оиа равна 1 лишь на наборе (1, 1), которому предшествуют все остальные наборы;

XVу также монотонна, так как она равна 0 лишь на наборе (0, 0), который предшествует всем остальным наборам,

х немонотонна,так как при а = (0), Р=(1) имеема-ф, но a>-f;

х-*у немонотонна: пусть а=(0, 0), Р=(1, 0), а-<Р; тогда (0—>0)—

• 1 > (1 —>0)=0;

х~у немонотонна, что ясно из рассмотрения наборов а=(0, 0),

Р=(>. 0)

3. Рассмотрим два случая.

а) Пусть свободный член равен 1 и линейная функция содержит хотя бы одну существенную переменную. Тогда из сопоставления нулевого

набора и набора, содержащего ровно одну единицу на месте, соответст­вующем существенной переменной, следует немонотонность функции. Остается лишь случай константы 1.

б) Если свободный член равен 0 и линейная функция содержит, по крайней мере, два существенных аргумента, то немонотонность следует из рассмотрения набора, заметающего единицей только эти два аргу­мента, и набора, замещающего единицей только какой-то из них. Остают­ся функции 0 и х.

4. Поскольку нулевой набор младше остальных, из равенства на нем монотонной функции единице следует ее тождественное равенство единице (на остальных наборах она не может быть меньше). Аналогично рассматривается двойственный случай.

5. Если исключить случай констант, то монотонная функция f(x, у) равна 0 на нулевом наборе и 1 на единичном. Два других набора (О, 1) и (1,0) следуют за нулевым, предшествуют единичному, а между собой несравнимы. Поэтому на них можно задавать любые значения функции, не нарушая монотонности. Всего задавать эти значения можно четырьмя способами, так что можно указать четыре монотонные функции от двух переменных, не являющиеся константами: х, у, ху и XVу.

6. а) Упростим формулу: xyVxzVxz=xyV г. Эта функция равна нулю на наборах (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0). Все оставшиеся наборы, исключая (0, 0, 1), содержат ие менее двух единиц, а значит, они могут быть только больше. Набор (0, 0, 1)>-(0, 0, 0), а с остальными двумя он не сравним. Значит, рассматриваемая функция монотонна.

б) Функция немонотонна; сравнить значения функции на наборах (0, 0) —<(1, 0).

в) Сравнивая значения на наборах (0,0)-<(1, 0), получаем, что функция немонотонна.

г) xvy~xy — тождестве ная единица, так как xVy=xy.

д) xyV xv xz=x\г— монотонная функция (задача 5.2).

е) Функция монотонна, так как она равна нулю на наборах, содер­жащих менее двух единиц, а остальные наборы могут быть только больше.

7. Пусть имеется система монотонных функций®. Нужно доказать монотонность функций, являющихся суперпозициями функций из Ф.

Для суперпозиций ранга нуль, т. е. для функций из Ф, это утверж­дение согласно условию верно. Пусть оно доказано для суперпозиций ранга к. Докажем его справедливость для суперпозиций ранга k-\ 1. Пусть <р(х_ъ . . ., дг„), 1]'(й, ■ • {^)€®^(fr)- Надо показать (см. определе­ние 2.3), что функции

ф (*1, .... *,-1. У, *,+1. •••. *а);

F(x_t, *,•+!, у_г у,) =

= ф(*₁, ф({/! у,), X_{i + 1}, ...,Х_п)

монотонны. Напомним, что у, y_t могут, в частности, совпадать с какими- то из переменных Xj. Монотонность первой из функций следует из моно­тонности ф по определению. Докажем монотонность F. Рассмотрим два сравнимых набора значений ее аргументов:

V —(^a_t> ^a,-+i' —• Pi> ■•■> Р/)> у"=(а" а;__г. а;₊₁ <>£ р; Р").

Пусть Покажем, что F(y')<F(y"). Имеем:

F (у') = <р (6'), где 6'.=aJ при / ф i, 6_|'=ф(Р');

^(у") = ф(6"), где 6'/ = а/ при j Ф i, 6/=ф(Р").

Поскольку Ф — монотонная функция, а из у’-<у" следует Р'=^Р”, имеем 6'=^6", т. е. ф(б')=^(у')<ф(^”)⁼^(Т”)> ^{так как}Ф—монотонная функция. Поскольку в одном из двух указанных видов представляется любая функция из Ф^+ч, доказательство окончено.

Б.8. Отрицание х — монотонно убывающая функция. Ее суперпо­зиция с собой х—х монотонно возрастает.

Б.9. Достаточность уже доказана; необходимость будем .доказывать индукцией по числу переменных. Можно начинать с п= О, когда имеются лишь константы; для п= 1 добавляется еще x=x\jx. Пусть доказываемое утверждение справедливо для монотонных функций от (п—1) перемен­ных. Докажем его для функций от п переменных. Пусть f(x_lt . . ., x_n-_lt х_п) — монотонная функция от п переменных. Разложим ее в СДНФ по последней переменной:

/(*!, .... Х_п-_1г Х„) = ср(х₁, .... Х„-!)Х„ V ..., Хп-х) Х_т

где

ф (Л-li • • ■ I %п — l) ~ / (Л-1» • • • » Л-п — 1» l)t Ф (%lt • • •» %п — l) ⁼

⁼ / (Л-1» •••» Л-п — 1» 0).

Функции ф и ф монотонны, так как они являются суперпозициями монотонной функции f и констант, являющихся монотонными функциями (см. задачу 5.7). Покажем, что имеет место представление:

/(*1 *«-1. *п)=ф(*1. X_n-l)X_n V ф(*1 *„_!). (5.1)

Нужно доказать равносильность

х_п<р V х_пф = x„q> V ф.

Сравним множество наборов, на которых обращаются в нуль левая и правая части. Если на некотором наборе а=(а₁, . . а_п__ь а_п) обрати­лась в нуль правая часть, тоа_пф(оо₁₍. . ., а„_!)=0 и я|(а_ь . . ,,а_л_₁)=0; значит, и а_пф(<Хх, . . .,a_n_₁)=0, т. е. и левая часть равна нулю. Пусть

теперь на наборе а=(а₁ «п -i> ^ап) равна нулю левая часть. Тогда

^arM^ai> ■ ■ •> ^an-₁)⁼⁼0. Далее, f(a_t поэтомуф(а₁, . . .

■ • •. «n-i)=/(«i «п-ь 0)==0, так как (a_t a_n)^=(a₁, . . .

.. ., a,,-!, 0). В результате правая ч^сть равна нулю и представление

1. для монотонных функций доказано.

Докажем теперь представимость f в виде суперпозиции дизъюнкций и конъюнкций, предполагая, что f не является константой. Предполо­жим сначала, что ф и ф тоже не являются константами. Тогда, поскольку они монотонны и зависят от (п—1) переменных, по предположению ин­дукции их можно считать суперпозициями дизъюнкций и конъюнкций. Из (5.1) следует, что тогда этим же свойством обладает и функция f.

Теперь рассмотрим случаи, когда одна или обе функции ф и ф яв­ляются константами. Заметим, что

ФС*!, ..., (х_х x_n-j).

Поэтому, если ф — тождественный нуль, тоф и / — тождественные нули; 76 если ф=1 ¹), то f= 1. Если ф=0, а ф=1, то х_п)=х_п. Если же

ф=0, а ф(л:1 ^xn-i) ^не является константой, илиф=1, a 4Jj(jc_1p . . .

^хп-1) ^не является константой, то из предположения индукции и

1. немедленно следует доказываемый результат.

Мы советуем читателю провести доказательство, используя двойст­венные формулы. В частности, доказать равносильность, двойствен­ную (5.1):

/(* 1 *в-1. *„) = №(*! *„-!) V ^xn-l)< (5.2)

где /— монотонная функция, a . . ., x_n-₁)=f(x₁ х„-_ь 0),

ф (ху x_rl-i)=f(^xi, . . ., 1). Равенство (5.2) стоит доказать как

непосредственно, так и вывести из (5.1) при помощи закона двойствен­ности.

10. Воспользуемся второй идеей, упомянутой в указании. По­скольку константы двойственны друг другу, можно ограничиться случа­ем монотонной функции, отличной от константы. В силу задачи 5.9 ее можно представить в виде суперпозиции конъюнкций и дизъюнкций. Для получения двойственной функции по закону двойственности нужно заменить конъюнкции дизъюнкциями и наоборот, а значит, в силу задачи 5.7 вновь получится монотонная функция.

9. Возьмем две равносильные правильные ДНФ. Докажем, что они совпадают. Пусть х^. . . x_ljc— любая элементарная конъюнкция, входящая в первую ДНФ. Достаточно доказать, что она входит во вто­рую. Подставим вместо всех переменных, кроме входящих в эту конъюнк­цию, нули. Тогда все конъюнкции в обеих ДНФ, имеющие не меньшую степень, чем выбранная, обратятся в нуль, так как в них обязательно найдутся переменные, не входящие в эту конъюнкцию. В первой ДНФ обратятся в нуль и все остальные конъюнкции, так как иначе они погло­щались бы выбранной конъюнкцией (согласно в) определения 5.3). Если бы во второй ДНФ не было конъюнкции X. . х_1к, то все оставшие­ся после подстановки члены имелн бы меньшую степень и поглощались бы ей. Возьмем какую-нибудь из этих конъюнкций и подставим вместо входящих в нее переменных единицы, а вместо остальных переменных нули. Тогда первая ДНФ обратится в нуль, а вторая будет равняться единице.

10. В правильную КНФ входят различные правильные дизъюнк­ции, не поглощающие друг друга.

11. Пусть f(x_lt . . ., х_п) — немонотонная функция и наборы а= =(«i ^anKP=(Pi Рп) таковы, что

/К, ^ап) > / (Pi Рп)

т. е.

/(«!, ...,а„) = 1; /(Pi, Р„) = 0.

Разобьем переменные х_1г . . ., х_п на три группы. В первую включим та­кие переменные Х[, что «(=0, Р*=1; во вторую — такие х:, чтоа_г*=Р₍= =0; в третью — такие x_t, что а_г=Р_г=1. Поскольку а-^р, то не может быть, чтобы а_г= 1, Рг=0. Отождествим переменные внутри каждой из этих групп (подставим вместо них переменные у_1г у₂, у а соответственно). Получим немонотонную функцию от трех переменных q> (у_и у₂, Уз)- Ф (0. 0, 1)=1; ф(1. 0, 1)=0.

Дальнейшее уменьшение числа переменных может быть невозмож­но, как показывает пример немонотонной функции от трех переменных х-\-у-\-г. Любое отождествление переменных приводит к функции от од­ной переменной, совпадающей с аргументом (например, х), которая моно­тонна.

9. Пусть у нас имеется, например, константа 0. Сделаем в ср(у_ъ у₂, у_в) подстановку у₂— 0. Получим немонотонную функцию от двух пе­ременных. Число переменных, вообще говоря, нельзя уменьшить, как показывает пример функции х-\-у.

Аналогично рассматривается случай константы 1. В этом случае нельзя уменьшить число переменных у функции х-\-у-\-\.

9. Подставим у₂—0, у₃= 1 в аргументы функции ф((/_ь у₂, у_а), введенной при решении задачи 5.14. Получится у_г.