§ 4. Арифметические операции в алгебре логики

Конъюнкция ху в булевой алгебре {0, 1} совпадает с арифметической операцией умножения над числами 0, 1. Обычное арифметическое сложение выводит за пределы множества {0, 1}, однако можно рассмотреть сложение по модулю 2. В результате возникает функция алгебры логи­ки, которую мы будем обозначать через х-\-у (не указывая, что сложение проводится по модулю 2, ибо у нас будет встре­чаться только это сложение), задаваемая таблицей

X	У	х+у
1	1	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Заметим, что х-\-у=х~у=хАу ¹). Для введенного сло­жения и умножения (конъюнкции) имеют место все основ­ные арифметические законы: коммутативность, ассоциатив­ность, дистрибутивность умножения относительно сложе­ния. Поэтому мы, специально не оговаривая этого, будем использовать все обычные упрощения в записи арифмети­ческих выражений.

1. Представить х+у в виде СДНФ, СКНФ; найти (х+у)+. А

Суперпозиции функций ху, х-\-у и констант в силу сде­ланного выше замечания можно считать «полиномами».

2. Доказать, что всякая функция алгебры логики мо­жет быть представлена арифметическим полиномом (по модулю 2). ▲

Выберем канонический вид полинома. В силу (2.11) х^п=х при /0=1; далее, х-\-х—Ь.

Определение 4.1. Полиномом Жегалкина назы­вается полином, являющийся суммой константы и различ­ных одночленов, в которые все переменные входят не выше, чем в первой степени:

2 Ж/. ... x_lk + a,

причем в каждом наборе (г\ i_h) все ij различны, а сум­мирование ведется по некоторому множеству таких не сов­падающих наборов.

Нам удобно включить формально в число одночленов и константы.

Возможность преобразования произвольного арифмети­ческого полинома в полином Жегалкина следует из замеча­ний, приведенных перед определением.

3. Представить полиномами Жегалкина: а) основные логические операции; б) x\Jy\/z\ в) xy\Jyz\Jxz\ г) xyz\J V xyz\J xyz\J xyz. A

4. Доказать, что представление функций полиномами Жегалкина единственно. ▲

Определение 4.2..Функции вида л^+л^Ч-. . .

.. . -\-Xi_k+a, где а — константа, называются линейными.

Линейные функции можно записывать в виде

П

2в/*/ + во. (4-1)

t =1

где а_и я₀ равны нулю или единице.

5. Сколько имеется линейных функций от п пере­менных? ▲

3. 65

   С. Г. Гиндииин

Заметим, что всякая функция от одной переменной ли­нейна.

6. Какие из линейных функций являются самодвойст­венными? ▲

Замечание. Для доказательства нелинейности функции до­статочно показать, что в представляющем ее полиноме Жегалкина есть член выше первой степени. При этом существенна единственность представления функций в виде полинома Жегалкина. Именно, непосред­ственно строя отрицание высказывания, приведенного в определении

2. мы получаем, что для доказательства нелинейности функции нужно доказать, что она не может быть представлена в виде (4.1), а это следует из нелинейности ее полинома Жегалкина в силу его единственности (так как (4 1) — полином Жегалкина)

7. Какие из функций задачи 4.3 линейны? ▲

8. Доказать, что функция, представленная полиномом Жегалкина, существенно зависит от всех входящих в него переменных. ▲

9. Показать, что следующее определение линейной функции эквивалентно принятому выше. Функция линейна тогда и только тогда, когда она после любой фиксации пере­менных продолжает существенно зависеть от всех незафик­сированных переменных (см. задачи 1.9, 1.10). ▲

10. Дана произвольная нелинейная функция. Нели­нейную функцию от какого минимального числа перемен­ных можно получить, отождествляя переменные данной функции? ▲

11. Нелинейную функцию от какого минимального числа переменных можно получить, строя суперпозиции произвольной нелинейной функции и одной из констант? ▲

12. Имеется какая-то одна нелинейная функция от двух переменных и отрицание. Доказать, что суперпозициями из них можно получить все нелинейные функции от двух пере­менных. ▲