2. Вновь применяем преобразование 3).

38. а) XVу — СКНФ.

б) Как и при решении задачи 2.33 вначале получаем xz(xV у) Это уже КНФ. Теперь будем строить СКНФ:

кг (xv y) = (xV yyv гг) (xxvyy vz) (xVyVzz) =

— (xVyVz) (xVyVz) (xvyvz) (xVу Vz) (xVyVz) (xVyVz)&

& (xvyvl) (xvy V z) (xvyvz) (xvyvz) —

= (xvyvz) (xvyvz) (xv yvz) (xvyvz) (xvyvz) (xvyvz).

в) (x V y)(yv z) (z V 0=(* V у V гг V ft) (xxV у V zVtt) &

& (xx V у у V г V t) = (x V у V г V t) (x V у V z v t) (x V у V z v t) & & (x V у V г V t) (x V у V z V t) (x V у V z v t) (x V у V z v7) & &(xvyvzvt)(xvyvzvt)(xvyvzvt)(xvyvzvt)&

& (x V у V г V t) = (x V у V Z V t) (x V у V z V t) (x V у V z V 7) & &(xV у V zV t) (xv yV zv t){xv yv zvT)(xV yVzVt) (xVyVzVt).

Г) X {y V z) (X V у V z) — (x V yy V ZZ) (XX V у V~z) (XV у V z) — = (x V у V г) (x V у V г) (х V у V г) (х V у V г) (х V у V г) &

& (xv yvz) (X V у V г) = (х V у V z) (X V у V z)(x V у V г) &

& (х V у V г) (х V у V г).

38. (2.20): х V ху —\ тогда и только тогда, когда лс=1, так как если ху—1, то х—1.

39. а) хуг V xyz V хуг V xyz = ху (z V г) V xyz V ~xyz —

—ху V хуг V хуг=х (у v уг) V хуг — ху V xz v хуг =

—ху V z (х V ~ху)—ху V хг V уг.

б) х V ху V уг V хг — х V yz V хг—х Vz V уг—х V г

в) (х V у) (ху V z) V г V (х V у) (и v v) = (x V у) (xv у V z) V

• z v (х V у) (и V v) = (х V у) г V г V (х V у) (и v v) — (х v у) V г V

• (х V у) (и V v)=x v у V г.

§3. Закон двойственности в алгебре логики

Мы говорили в конце и. 3§ 2 о двойственности, имеющей­ся в аксиоматике булевых алгебр, которая проявляется в том, что на множестве 30с, наделенном структурой булевой алгебры, можно ввести также структуру двойственной буле­вой алгебры 9Л⁺. Между Hi и 9)t⁺ имеется так называемый канонический изоморфизм, причем 0 и 1 в одной алгебре отвечают соответственно 1 и 0 в другой, а дизъюнкции (конъ­юнкции) в одной соответствует конъюнкция (дизъюнкция) в другой. В этом параграфе мы выясним, как ведут себя бу­левы операции на регулярных булевых алгебрах при изо­морфизме 3L)£->'JJ£⁺ (п. 4 §2).

1. Доказать, что булева алгебра Ш⁺, двойственная регулярной булевой алгебре Й){, регулярна. А

Пользуясь соответствием между булевыми операциями и функциями алгебры логики, можно ограничиться рассмот­рением последних, т. е. случаем двухэлементной алгебры {0,1}.

Основным в этом параграфе будет понятие двойствен­ных функций. Двойственная функция получается из исход­ной при замене значений всех переменных на противопо­ложные, т. е. всюду в истинностной таблице нужно заме­нить 0 на 1, а 1 на 0:

Определение 3.1. Функция f⁺(x_u . . . , х„), двой­ственная к функции / (*,, . . ., х_п), определяется равенством:

f (Xj, ..., х„) = / (л j, ..., х_п).

Определение 3.2. Функция, равносильная своей двойственной, т. е. такая, что

/ (*i> • • • > х_п) = f⁺ (а^-!, х₂, ..., х_п) — f (x_lt .. ., х_п), называется самодвойственной.

Итак, самодвойственная функция принимает на проти­воположных наборах (ссц а_п) и (а_и . . ., а_п) противо­положные значения.

2. Построить функции, двойственные следующим функ­циям:

а) основным логическим операциям и константам 0,1;

б) функции от пяти переменных, равной 1, если четное число переменных равно 1;

в) аналогичной функции от шести переменных.

Какие из этих функций являются самодвойствен­ными? А

3. Показать, что функция xy\Jxz\/yz является само­двойственной. А

4. Найти все самодвойственные функции от двух пере­менных. А

5. Сколько имеется самодвойственных функций от п переменных? ▲

6. Дать определение несамодвойственной функций ¹).А

Теперь мы сформулируем

Закон двойственности. Функция, двойст­венная суперпозиции некоторых функций, равносильна соот­ветствующей ¹) суперпозиции двойственных функций (см. определение 2.3).

7. Доказать закон двойственности. А

Из закона двойственности следует, что суперпозиция самодвойственных функций самодвойственна.

Закон двойственности удобен при нахождении двойст­венных функций для функций, представленных формулами. Можно, конечно, воспользоваться определением двойст­венной функции и поставить отрицания над аргументами и над всей формулой. Однако при этом из формулы, содер- , жащей только дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, у которой отрицания стоят только над аргументами, полу­чается формула, не обладающая этим свойством. Если же строить двойственную функцию при помощи закона двойст-

венности (заменить операции на двойственные, а именно, конъюнкции дизъюнкциями и наоборот ²)), то указанное свойство сохраняется.

8. Для функций, двойственных указанным ниже, построить представления формулами, у которых отрицания стоят только над аргументами: а) (х \/yz)(xij \/хг)\ б) (x\Jy)zt\/xt. А

Итак, если у нас имеется формула, содержащая только конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, то, заменяя всюду конъюнкции дизъюнкциями и наоборот, мы придем к фор­муле, двойственной исходной. При применении этой про­цедуры к равносильным формулам мы получаем равносиль­ные формулы (непосредственно из определений следует, что функции, двойственные равносильным функциям, рав­носильны). Часто под законом двойственности подразуме­вается именно это следствие из него. Оно действительно очень важно и при его помощи можно из одних утверждений алгебры логики получать другие. Например, из равносиль­ностей (2.2), (2.3), (2.6), (2.8), (2.10), (2.20) (2.22), (2.23) таким образом получаются (2.4), (2.5), (2.7), (2.9), (2.11), (2.21), (2.24), (2.25), утверждение задачи 2.7 получается из задачи 2.6. Таким же образом можно из свойств ДНФ и СДНФ получать свойства КНФ и СКНФ.

9. Исходя из возможности разложить всякую функ­цию /, отличную от тождественного нуля, в СДНФ (2.14), показать возможность разложения всякой функции ср, от­личной от тождественной единицы, в СКНФ (2.18). Ана­логично из (2.15) получить (2.19). А

Нам потребуются в дальнейшем некоторые результаты

о несамодвойственных функциях.

10. Дана произвольная несамодвойственная функция. Отождествить у нее переменные так, чтобы получилась не- самодвойственцая функция от возможно меньшего числа переменных. Каким может быть это число? А

11. Доказать, что из произвольной несамодвойственной функции и отрицания суперпозицией можно получить конс­танты 0 и 1. А

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 3

1. Гомоморфизмы Ш1+ в (О, 1} получаются композицией канони­ческого изоморфизма ®!+ в 5Ш и гомоморфизмов 1Ш в {0, 1} (т. е. сначала Ш1+ изоморфно отображается в Ш1, а потом Ш1 гомоморфно отображается в {0,1}). Непосредственно проверяется, что они разделяют элементы Ш1 + , если этим свойством обладают гомоморфизмы Ш! в {0, 1}.

5. Самодвойственная функция определяется своими значениями на множестве наборов, содержащем по одному из каждой пары двойст­венных наборов (на противоположном наборе функция должна прини­мать противоположное значение).

3. 10. Всегда можно получить несамодвойственную функцию от двух переменных. Дальнейшее уменьшение числа переменных, вообще говоря, невозможно.

   11. Можно ограничиться случаем двух переменных.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 3

2. а) 0+ = 1 (поскольку функция ни от каких аргументов не зави­сит существенно, надо поставить отрицание лишь на значение функции);

1+=0; (х)+ = х=х, т. е. х—самодвойственная функция; (ху)+ = = xVy (см. (2.9)); (х V </) + =ху (см. (2.10)); (*->-(/)+ =

= xViг^У-+х\ (х~у)+=х~у.

б), в) Функции, равные 0, если четное число переменных равно 0. В примере б) это та же функция, что и исходная, т. е. данная функция самодвойственна.

3. (ху V yz V xz)+ = ху V yz V xz — xy yzxz = (x V у) (у V г) &

& (х V z) — xy V yz V xz. Мы воспользовались равенством (2.21).

4. х, у, ~х, у~, т. е. все самодвойственные функции от двух перемен­ных существенно зависят от одной переменной.

5. 2²” '. Множество наборов, значения на которых определяют самодвойственную функцию, содержит 2^,!-1 элементов (половина всех наборов). Далее применяется уже использовавшийся ранее способ под­счета числа функций (см. задачу 2.3).

6. Функция является несамодвойственной, если существует такой набор («! «„), что / (а, u_n)=f(a_b . . ., а_п).

7. Одновременно с решением этой задачи придадим точный смысл словам «соответствующая суперпозиция двойственных функций». Пусть мы рассматриваем суперпозиции функций из системы Ф. Функци­ям ф^Ф ставим в соответствие двойственные функции ф+ (их совокуп­ность обозначим через Ф+). Для них утверждение закона двойственности тавтологично. Пусть для суперпозиций ранга k из системы Ф определены соответствующие суперпозиции ф£Ф+^(й>системы двойственных функций Ф+ и доказана справедливость для них закона двойственности, т. е. Ф=*Ф+ при ф£Ф<*>. Тогда суперпозициям

^1 (*1» . . ., X i — 1, у, +1, . . . , ЛТ/i) — ф (^i, . . y_t ..., x_n)i

^2 С^1» ■ ■ - * %i _ 1, Xi-j i, . . . , Х_п\ УI, - - - , ///) =

= ф ^(Уи - .yi). V7+х„),

где <p(*i, . . x_i+1, ., x„), ставим в со­

ответствие суперпозиции

F1 (%1> • • •« ■*»'—и ^/» -*7+1» -^п) V (‘'■*1» • ••*■*/ —1, у, Xj+1» ■ • ■» ^л)*

^*2 (-^1 ■*■/“ 1* “*7 + 1» • • •» ■*«> У1> * * ' > ”

=ф(*1 -V/-1, ^(г/1 <//). *<+i, •••> *_п)>

где ф, ф£Ф⁺⁽*>—соответствующие ф и ij суперпозиции функций из Ф+ (уже построенные по предположению индукции). Нужное определение дано, остается проверить справедливость закона двойст­венности. По индуктивному предположению ф = ф⁺, ф = ij>+. Надо показать, что Ft =F_U Ft —Ft- В силу определения 3.1 и индук­тивного предположения

Ft (^xi

F\ (*i, - » ^xi—1» У. ^7 + 1» х_п)

	— <р(хи . .	^1 — 1* У> ^/+1»	и 1 *e
	= ф+ (%, ....	- */-!• У, */+Ъ
	= F i(Xl	xt — 1» *7 + 1»	• • •» xn)\
i> xi + 1> • • ■	, х„; у„ -. , у,) =
= ф(*.. ••	■ >xi-li ^(Уи	•• У/)» */ + 1. • ••	У Уп) =
= ф(*1, ..	ф+ (j/i, .	* •» i//)* ^1 + 1* * ■	•» xn) ~
£ + ©■ II	.... */_!, ф+ (г/,,	- • •> f/j)> *7 + l>	*e)=
= Ф(*1, ••	■.Xi-1, 'Ф (У1, ■■■	> iVl)> xi+1» * • •»
= Рг[х1,	■ •» Л7-1» -*7+1» • • •	» f/l> • • ■» i/f)*

8. Заменяем конъюнкции дизъюнкциями и наоборот, а) х(у \/ z) V V (xV y)(xV 2); б) (xyV zV t)(xV t).

9. Пусть <p(*i_t . . ., x_n) не равна тождественно 1. Рассмотрим

f(x_lt . . х_п)=(р+ (x± x_n)- Имеем: f не равна тождественно нулю.

Представим f(x_lt . . х_п) в СДНФ (2.14). Перейдем в левой части к двойственной функции, а в правой части заменим все конъюнкции дизъ­юнкциями и наоборот. Получаем:

/+ (*i, . , х_п) = <р (х_и .., х„) =

= Д X°>v...vx"”= XI Xj¹ V . . . .

О_в)=¹ <p (O,, . . , <7„) = 0

Мы получим представление ф в СКНФ.

Аналогично осуществляется переход от (2.15) к (2.19).

10. В решении задачи 3.6 дано определение несамодвойствеиной функции. Пусть f(x_t х_п) — такая функция и для набора (а,, . . .

■ • •» ^аи)

/ (^1 ^ап) ⁼ f (^а1* • • • > &п)-

Разобьем переменные х_ъ . . х_п на две группы. В первую включим те переменные х_ь для которых а~ 1, в другую — все остальные перемен­ные (для них 0). Отождествим между собой все переменные первой

группы (переименуем их в у{), а также все переменные второй группы (подставим вместо них у._г). Получим функцию от двух переменных ф(й> У-г) (^она может оказаться функцией от одной переменной, если («!, . . .,а_п) — единичный или нулевой набор).

Ясно, что

ф(1. 0) = /(<*!, ...,а„); _Ф(0, 1)=/^ а_п).

Поэтому

Ф(0, 1) = Ф(1. 0),

а значит, ф(</1, у₂) — несамодвойственная функция.

Может оказаться, что дальнейшее отождествление переменных с сохранением несамодвойственности невозможно. Например, ху — не- самодвойствепная функция, а единственно возможное отождествление переменных приводит к самодвойственной функции х.

11. Заметим, что все несамодвойственные функции от одной пере­менной являются константами. В силу предыдущей задачи можно огра­ничиться случаем функций ф(х, у) от двух переменных.

Пусть

Ф(а, Р)=ф(о] Р)

Тогда рассмотрим функцию

^(х, у) — ф (х“, уР).

Эта функция является суперпозицией ф(х, у) и х. Поскольку а^в=р?=1, ф(1, 1) = -ф (0, 0)

Отождествим у ty’(x, у) переменные х, у: т(х)—i}j(x, х). Имеем т(1)=т(0), т. е. т(х) — константа. Подставляя эту константу в х, получаем другую константу. Итак, мы представили в виде суперпозиции ф(х, у) их обе константы 0 и 1. Напомним, что константы являются несамодвойствен­ными функциями.