6. В силу (2.6) имеем (xVy)(zV f)=(xV y)zV (xv y)t. В силу комму­тативности конъюнкции можно вновь применить (2.6) к (xVy)z и (х Vy)t. В силу ассоциативности дизъюнкции в получившейся формуле скобки можно опустить.

7. Решение аналогично решению задачи 2.6, с той лишь разницей, что вместо распределительного закона ,(2-6) используется закон (2.7).

8. а) В силу (2.8) и (2.1) имеем 'xyVz=xyz={xvу)г.

10. Решение мальчика не выполнено, если он не закончил чтение книги или не сходил ни в музей, ни в кино, и, хотя была хорошая погода, он не купался.

11. Простые высказывания:

х: «Мальчик в воскресение закончил чтение книги», у: «Мальчик в воскресенье сходил в музей», г: «Мальчик в воскресенье сходил в кино», t: «Мальчик в воскресенье пошел выкупаться на реку», и: «Была хорошая погода».

Вся фраза имеет вид x(yV z){u^t). Отрицание ее имеет вид xVyzVut. Подставляя вместо переменных имеющиеся у нас простые высказыва­ния, мы получаем приведенный выше ответ к задаче 2.10.

19. В примере 3) рассмотрим подалгебру из трех элементов:

менно мы показали, что в Сулевой алгеоре может &ыть элемент, совпа­дающий со своим отрицанием.

19. а) х\у отвечает ху; хАу отвечает xyVху (т. е. альтернативная

дизъюнкция хку—х~у (см. задачу 1.1)).

б) (*Аг/)Аг равно 1 тогда и только тогда, когда один и только один из аргументов х, у, г равен 1. Отсюда следует ассоциативность альтерна­тивной дизъюнкции, а значит, и симметрической разности.

19. Импликации отвечает дополнение разности х\у до всего множества или объединение дополнения х (до всего множества) и под­множества у; эквивалентности — дополнение симметрической разности или объединение пересечений самих множеств (ху) и их дополнений Jxy); функциям Шеффера отвечает соответственно дополнение пересече­ния или объединение дополнений {ху—х V у) и дополнение объединения или пересечение дополнений (xvу—ху).

2-22. У алгебры, рассмотренной при решении задачи 2.19, нет ни одного гомоморфизма в алгебру {0, 1}, так как в последней хфх.

22. Каждому элементу т регулярной алгебры Щ} ставится в соот­ветствие подмножество множества Л!(Щ1) ее гомоморфизмов в {0, 1}, при которых элемент т переходит в 1. Непосредственно проверяется,

■jto это — гомоморфизм в алгебру подмножеств множества Л1(9Л). Подалгебра, в которую ЯЛ переходит при этом гомоморфизме, изоморфна алгебре 9Л, так как различным элементам ЭЛ отвечают различные под­множества в силу существования разде гяюших гомоморфизмов в {0, 1}.

27. Достаточно показать, что для любого такого подмножества М' гомоморфизмов булевы операции те Hie, что и для Л1(901). Это следует из того, что значение любого гомоморфизма И(9Л) на произвольном эле­менте х £ЭЛ однозначно определяется значениями гомоморфизмов я|:£М' на этом элементе (этими значениями однозначно характеризуется сам элемент х, ср. решение задачи 2.25).

28. Достаточность условия следует из того, что функция хх тож­дественно равна нулю; поэтому все элементарные конъюнкции, а значит, и вся ДНФ равны тождественно нулю.

Докажем необходимость. Пусть*®¹. . . я®"—элементарная конъюнк­ция, в которую никакая переменная не входит вместе со своим отрица­нием. Тогда можно рассмотреть набор значений переменных (0! о_;1),

ибо хотя среди переменных могут быть совпадающие, одна и та же пере­менная или всюду входит сама, или всюду стоит ее отрицание. На этом наборе рассматриваемая элементарная конъюнкция равна 1, а значит, и вся ДНФ равна 1 (так как если в дизъюнкции один член равен 1, то и вся дизъюнкция равна 1).

27. а) и г); в б) переменная х_г входит один раз сама, другой раз под знаком отрицания; в в) переменная х₂ входит трижды: два раза сама и один раз с отрицанием.

28. Первое решение. Полная правильная элементарная конъюнкция хj*. . . равна 1 на единственном наборе (о_ь . . ., о_п). Дизъюнкция нескольких таких конъюнкций равна 1 на тех и только тех наборах (0! о,,), которые являются наборами показателей входя­щих в нее элементарных конъюнкций. Поэтому разложение (2.14) — единственно возможное, и разным СДНФ соответствуют разные функции.

Второе решение. Найдем число СДНФ от п i еременных х_ъ . . х_п. Каким-либо образом занумеруем полные правильные эле­ментарные конъюнкции х°¹. . . х^^п. Их будет столько, сколько имеется двоичных наборов из п элементов, т. е. 2^п (задача 2.1). Каждой СДНФ от *!, . . х_п можно следующим взаимно однозначным образом поста­вить в соответствие набор из 2^П нулей и единиц, отличный от нулевого. На местах с номерами конъюнкций, входящих в СДНФ, поставим еди­ницы, на остальных — нули. Нулевой набор при этом не получается, так как он соответствовал бы пустой СДНФ. Итак, различных СДНФ будет столько, сколько существует наборов длины 2^п, отличных от ну­левого, т. е. 2²"—1.

Функций от х_ъ . . х_п, отличных от тождественного нуля, также 2² —1, а так как каждая из этих функций может быть представлена СДНФ, то представление единственно. Это простое комбинаторное сооб­ражение можно продумать на следующей схеме. Имеется N ящиков и N шаров. В каждом ящике лежит по крайней мере один шар. Тогда в каждом ящике лежит в точности один шар. Доказательство этого утверж­дения совершенно очевидно. В нашем случае роль ящиков играют функ­ции алгебры логики, роль шаров — СДНФ. Мы будем пользоваться этой идеей и в дальнейшем.

27. Для доказательства равносильности (2.16) нужно доказать совпадение значений левой и правой части при любой фиксации пере­менных х_1г . . ., х_п; у у, . . , у_т. Вначале зафиксируем значения

Уъ ■ . У т.- Тогда совпадание значений при фиксации оставшихся пе­ременных следует из равносильности (2.15).

Можно было бы также разложить f по всем переменным, а затем, ис­пользуя дистрибутивный закон, произвести перегруппировку членов.

27. а) xyzvxyzVxyzvxyz;

б) xyzt\/xyztvxyztvxyztv xyztvxyzt Vxyzt Vxyzt.

27. a) xVy — ДНФ.

б) Применяя процедуру 1), получаем xz(xvy). Теперь, применяя равносильность (2.6), получаем:

xzxvxzy.

в) На первом шаге получаем (xvy)(xvy)zt. Теперь, применяя (2.6) и задачу 2.6, получаем:

xxzt V xyzt V ijxzt V yyzl.

27. а) В ДНФ x\/y все элементарные конъюнкции правильны, поэтому сразу применяем правило 5): х (yvy)vy(xvx). Далее по­лучаем xyvxyvxyvxy. Теперь из двух одинаковых конъюнкций ху нужно оставить одну: xyvxyvxy.

б) Начинаем с правила 4): xzv хуг. Первая конъюнкция непра­вильна: хг (yvy)vxyz=xyzvxyz \/хуг. Эта формула является СДНФ.

в) По правилу 4) получаем ДНФ: xyztvxyzt. Эта формула уже является СДНФ.

г) xvyz = x (yVy) (z vz)v (xVx) yz = xyzV xyzvxyzVxyzVxyzV

• xyz = xyz V xyz V xyz V xyz V xyz.

д) xyxzvxt — xt = x (yVy){z V z) t = xyzt vxyztVxyztVxy zt.

^е) xyVyztVxyzt ==xy(zvz)(tvl)v(xvx)yztvxyzt — xyztVxyztV

• xyz t V xyz t V xyzt v xyzt.

38. a) (xVyVz) (xVyVz) (xvyvz) (xvyVz).

6. (xvyvzvt)(xvyvzvj)(xvyvzvt)(xvyvZVT)(xV~yVZV~t) & & (xvyvzvt) {xvyvzvt) (xVyVzVt)-

38. 1) Перейти к равносильной формуле, в которой имеются только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, причем отрицания стоят только над аргументами.

2. Преобразовать получившуюся формулу так, чтобы вначале вы­полнялись все дизъюнкции (использовать дистрибутивный закон (2 7) и задачу 2.7).

В результате мы получаем КНФ.

2. Если имеется несколько одинаковых элементарных дизъюнкций, то мы оставляем только одну.

В силу (2.11) мы получаем равносильную формулу.

2. Преобразуем все элементарные дизъюнкции в правильные сле­дующим образом:

а) Удаляем элементарные дизъюнкции, в которые какая-либо переменная входит вместе со своим отрицанием.

б) Если в элементарную дизъюнкцию некоторая переменная входит несколько раз одинаковым образом (или во всех случаях с отрицанием, или во всех случаях без него), то мы оставляем только одно вхождение.

Мы используем в а) соотношение л: V л:= 1, в б) — соотношение (2.10)

2. Если в элементарную дизъюнкцию . . Vx^^k не входит некоторая переменная у, то мы добавляем дизъюнктивно член уу: x“l' V. Vx%^kVyy\ затем вновь применяем преобразование 2). Мы

воспользовались здесь тем, что уу= 0, и соотношением (2.13).