- •Алгебра логики в задачах
- •Издательство «наука» главная редакция физико-математической литературы
- •17071, Москва, в-71, Ленинский проспект, 15
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Путеводитель и указания к пользованию книгой
- •§ 1. Операции над высказываниями
- •Ответы и указания к задачам § 1
- •Нужио лишь вспомнить определения необходимых и достаточ ных условий, после чего утверждение превращается в тавтологию.
- •16 Операций; каждая операция задается своей истинностной таблицей, так что задача заключается в том, чтобы найти число всех различных таблиц.
- •Решение непосредственно следует из определения фиктивного вхождения (задача 1.10) и определения равносильности формул.
- •Достаточно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию ц отрицание.
- •§ 2. Функции алгебры логики; нормальные формы
- •Функции алгебры логики; равносильность функций.
- •Булевы алгебры.
- •, (2 9) Для перенесения отрицаний (ср. Задачу 2.8).
- •Ответы и указания к задачам § 2
- •2.36. Элементарная дизъюнкция (правильная) X°‘V. . .V*”" равна
- •Можно выбирать произвольно значения функции на всех наборах, кроме нулевого, т. Е. На (2"—1) наборах. Такой выбор осуществляется 22"-1 способами.
- •Рассмотрим для примера равносильности (2.3) и (2.7).
- •Решение аналогично решению задачи 2.6, с той лишь разницей, что вместо распределительного закона ,(2-6) используется закон (2.7).
- •Решение мальчика не выполнено, если он не закончил чтение книги или не сходил ни в музей, ни в кино, и, хотя была хорошая погода, он не купался.
- •Простые высказывания:
- •В примере 3) рассмотрим подалгебру из трех элементов:
- •Вновь применяем преобразование 3).
- •§3. Закон двойственности в алгебре логики
- •§ 4. Арифметические операции в алгебре логики
- •Ответы и указания к задачам § 4
- •Ответы и решения к задачам § 4
- •Общий вид нелинейной функции от двух переменных:
- •§5. Монотонные функции алгебры логики
- •Ответы и решения к задачам § 5
- •§ 6. Функционально замкнутые классы и теорема поста
- •§7. Общая теория функционально
- •§8. Схемы из функциональных элементов
- •§ 9. Релейно-контактные схемы. Оценки сложности схем
- •Реализация линейных функций контактными схемами.
- •Ответы и решения к задачам § 9
- •§ 10. Элементы вероятностной логики
- •Ответы и указания к задачам § 10
- •§ II. Многозначные логики
- •10, Если хфЬ.
- •§ 12. Логика предикатов
- •Последовательность {ап} имеет конечный предел, если
2.36. Элементарная дизъюнкция (правильная) X°‘V. . .V*”" равна
нулю лишь на наборе (о, ап). Можно также провести «мощностное»
доказательство (см. решение задачи 2.30).
Все равносильности (2.21) — (2.25) могут быть получены при помощи дистрибутивных законов (2.6), (2.7).
Воспользоваться равносильностями (2.21) — (2.25).
Ответы: a) хуУхгУуг\ б) ху г\ в) хуууг.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 2
Ответ легко «угадать» следующим образом. Дня первого элемента набора аг имеется две возможности: 0 и 1. Для каждой из этих возможностей а2 можно выбрать двумя способами. Итак, первые два элемента aj, a2 можно выбрать 2'2 — 4 способами. В каждом из этих 4 случаев имеется 2 возможности для выбора а3, т. е. элементы а,, а2, а3 можно выбрать 23= 8 способами и т. д., п элементов (аъ . . ., ал) можно выбрать 2" способами. Строгое доказательство проводится методом математической индукции.
В истинностной таблице для функций f(xlt . . ., хп) фиксируем каким-либо способом порядок строчек, т. е. порядок наборов (аь . . .,ап) значений аргументов хъ . . ., хп. Тогда функции однозначно определяются своими последними столбцами, т. е. наборами из 2” нулей и единиц (в таблице 2п строк в силу задачи 2.1). Различных функций столько, сколько имеется различных наборов длины 2П, т. е. 22”.
Можно выбирать произвольно значения функции на всех наборах, кроме нулевого, т. Е. На (2"—1) наборах. Такой выбор осуществляется 22"-1 способами.
Впрочем, легко сообразить, что ровно половина всех функций сохраняет нуль, так как можно установить взаимно однозначное соответствие между функциями, сохраняющими нуль, и функциями, его не сохраняющими (брать функции, совпадающие на всех наборах, кроме нулевого).
Дадим строгое определение отображения /=£/1). При этом мы определим f так, что / £ф(/;>, если /£Ф(/г). Если }£Ф, то определение / очевидно. Пусть функции Ф'*> определены для Bcexf£®(fc); определим f для /£ф<*+и. Пусть /^Ф^+ч. Возможны два случая. Если f получается из некоторой функции переименованием переменной согласно а) определения 2.3, то возьмем функцию £(;Ф(,г), отвечающую g по индуктивному предположению, и проведем в ней то же переименование переменной (ведь всякую функцию можно считать зависящей от любой переменной—хотя бы фиктивно). Аналогично, если f £ф1*+и получается подстановкой функции g £ф<,(| вместо какой-то переменной х функции Л£Ф(,!) согласно б) того же определения, то возьмем функции g, й£Ф1*>, построенные по предположению индукции, и подставим g вместо х в h. Полученную функцию и обозначим через f; /£Ф(Л+1>. Ясно также, что J—f Для /£Ф и что есл_и предположить g=g, h=h, то в обоих рассмотренных случаях f=*f.
Рассмотрим для примера равносильности (2.3) и (2.7).
Докажем, что (ху)г=х(уг). Найдем значения переменных, для которых левая часть равна 1. Поскольку последняя операция — конъюнкция, то для этого нужно, чтобы было ху= 1, г—\, а значит, (1, 1, 1) — единственный набор, на котором (ху)г равна 1. Аналогично показывается, что и правая часть равна 1 лишь на этом наборе.
Покажем теперь, htoxv yz=(x y)(xv г). Найдем наборы переменных, на которых эти формулы равны 0. Рассмотрим левую часть. Поскольку последняя операция — дизъюнкция, то для этого нужно, чтобы х=0, yz--0. Последнее будет иметь место, если у—0 или z=0. В правой части последняя операция — конъюнкция; поэтому нужно, чтобы xvу или xvг равнялись нулю. В первом случае должны равняться нулю х и у, во втором случае х и г. Таким образом, условия обращения в нуль левой и правой частей совпадают.