Задания

1. Изучите методические указания к лабораторной работе.

2. Загрузите систему MathCAD.

3. Повторите примеры вычислений и построения графиков, приведенные в методических указаниях.

4. Напишите программу MathCAD построения графиков зависимостей по варианту из лабораторной работы № 11.

Контрольные вопросы

1. Назначение и структура системы MathCad.

2. Приемы работы с системой MathCad.

3. Назовите элементарные пользовательские функции

4. Приемы ввода и редактирования формул

5. Построение графиков

Лабораторная работа № 6. Вычисления в MathCad для Windows

Цель работы:

• Научиться производить вычисления с использованием реальных физических величин;

• Научиться производить операции с векторами и матрицами;

• Научиться решать системы уравнений, нелинейные уравнения;

Задания

Задание 1. Простые вычисления в MathCad.

Задача. Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высота вдвое меньше, чем длина образующей. Объем конуса равен 1.

Анализ. Основные геометрические формулы, используемые при расчете.

Объем конуса -

Площадь боковой поверхности –

Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной образующей -

Площадь поверхности шара -

Объем шара - Объем куба -

1. Запустите программу MathCad

2. Откройте панель инструментов Калькулятор.

3. Присвойте переменной V (объем конуса) значение 1.

4. Введите формулы для вычисления:

радиуса основания конуса

длины образующей

площади боковой поверхности конуса

радиуса шара

объема шара

5. Заключительная формула позволит получить окончательный результат, а=0.7102

6. Вернитесь к самому первому выражению и отредактируйте его. Вме5сто значе6ния 1 присвойте переменной V значение 8. Посмотрите результат.

Задание 2. Физические вычисления с использованием единиц измерения.

Постановка задачи. Теплоизолированный космический аппарат, находящийся на орбите Земли, имеет на борту приборы с электрической мощностью, которая может изменяться в ходе работы от N₁=75 Вт (дежурный режим) до N₂=200 Вт (сеанс связи). С целью получения предсказуемого теплового режима в теплоизоляции сделано отверстие площадью S₁, на которое попадает поток солнечной энергии W=1400 Вт/м². Полученная энергия излучается аппаратом через это и дополнительное отверстие в теплоизоляции с площадью S₂ в режиме «твердого тела». Каковы должны быть площади отверстий, если допустимый диапазон температур для оборудования, расположенного в аппарате, составляет 20-30⁰С.

Анализ задачи. Минимальная температура аппаратуры соответствует режиму минимального тепловыделения. В этом случае поступающая мощность Q₁=WS₁+N₁. Излучаемая мощность Q₁=σT₁⁴ (S₁+S₂), где T₁ – минимальная допустимая температура в градусах Кельвина. В условиях баланса эти мощности должны быть равны.

Режим максимального тепловыделения соответствует максимальной температуры аппаратуры. В этом случае WS₁+N₁ + σT₁⁴ (S₁+S₂).

Используя два уравнения, получаем:

,

1. Введите значения известных величин, присвоив их переменным с соответствующими именами. Вместо нижних индексов используйте просто дополнительную цифру в названии переменной.

N1:=75 ^.watt W:=1400^. N2:=200^.watt T1:=(20+273)^.K T2:=(30+273)^.K

Обозначения физических величин присоединяйте к соответствующим значениям через знак умножения.

2. Присвойте переменной σ значения постоянной Стефана-Больцмана (5.67^.10^-8 )

3. Введите полученные в ходе анализа формулы для вычисления площадей отверстий, присвоив полученные значения переменным S1 и S2.

4. Вычислите значения S1 и S2 (S1=0.5679m² , S2=1.514m²)

Задание 3. Векторы и матрицы.

Задача. Разложить вектор по нормированным собственным векторам матрицы

Анализ. Первый этап решения задачи состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов матрицы. Затем необходимо найти вектор , такой что , где S-матрица, столбцы которой представляют собой собственные вектора матрицы М.

1. Создайте матрицу М и введите значения элементов матрицы на отведенные места.

2. Сформируйте вектор .

Собственные значения квадратной матрицы можно получить с помощью функции eigenvec. Результатом ее работы является вектор собственных значений, присвойте его переменной L.

3. Функция eigenvec позволяет получить собственный вектор, соответствующий данному собственному значению. Ей нужны два параметра: матрица, для которой ищется собственный вектор, и собственное значение, которому он соответствует. Чтобы записать собственные вектора в качестве столбцов матрицы S, надо присвоить вычисленное значение столбцу матрицы. Столбцы матрицы в программе MathCad выбираются специальным верхним индексом, заключенным в угловые скобки. Чтобы ввести номер столбца, нажмите комбинацию клавиш CTRL+6 или щелкните на кнопке Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица), после чего введите номер нужного столбца матрицы. Будьте внимательны — столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с нуля.

4. В правой части оператора присваивания надо указать собственное значение матрицы. Собственные значения являются элементами вектора L. Номер элемента указывается как нижний индекс. Для ввода нижнего индекса нажмите клавишу или воспользуйтесь кнопкой Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix. Итоговый оператор для первого собственного вектора будет выглядеть следующим образом: S^<0> := eigenvec(M,L₀)

Аналогично задайте операторы для второго и третьего собственных значений.

5. Для нахождения коэффициентов при собственных векторах в разложении необ­ходимо решить систему линейных уравнений. Ее удобно записать в матричной форме. Создайте вектор Т с тремя элементами. Величины этих элементов значения не имеют.

6. Запишите ключевое слово given.

7. Ниже запишите матричное уравнение S • Т = V. Знак логического равенства введите с помощью комбинации клавиш CTRL+=.

8. Найдите коэффициенты в разложении при помощи функции find.

Задание 4. Аналитические вычисления.

Задача. Найти все корни уравнения: (1+у-у²)²+у=2

Анализ. Это уравнение четвертого порядка. Легко подобрать один корень (у = 1). Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что поиск других корней этого уравнения — дело непростое. Неясно даже, сколько еще действительных корней имеет данное уравнение. Результаты численного решения зависят от подбора начального приближения и поэтому не гарантируют отыскания всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически.

1. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, дайте команду Символьная математика  Упростить.

2.Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном случае y и дайте команду Символьная математика  Переменная  Решить). Программа MathCad выдаст вектор, элементами которого являются корни данного уравнения.

3. Полученный результат содержит сложные комплексные радикалы, и его невозможно применить с пользой (нельзя даже точно сказать, являются ли корни действительными или комплексными). Чтобы разделить действительную и мнимую части, выделите результат вычисления целиком и дайте команду Символьная математика  Оценка  Комплексная. В результате запись станет более простой, но результат все-таки останется трудным для восприятия.

4. Чтобы получить результат в числовом виде, достаточно ввести в конце выражения (итогового или на любой из предыдущих стадий) команду вычисления (=).

Задание 5. Решение системы уравнений

найти значения x₁, x₂ ,x_3.

В начале работы требуется обозначить переменные. Примите сле­дующие обозначения:

А — матрица коэффициентов системы; В — вектор свободных членов; X — вектор результатов решения.

1. Выведите на экран панели инструментов, необходимые для рабо­ты.

2. Задайте матрицу А коэффициентов системы:

• в левом верхнем углу рабочего поля окна документа щелкните ле­вой кнопкой мыши

• наберите прописными буквами ORIGIN:=1, чтобы начать индекса­цию результатов решения системы с номера 1;

• щелкните левой кнопкой «мыши» в рабочей области окна в месте расположения матрицы;

• введите с клавиатуры имя матрицы А;

• щелкните мышью на пиктограмме с изображением стилизован­ной матрицы на панели;

• задайте размер матрицы А 3x3; нажмите кнопку <ОК>. На экране появится заготовка для матрицы

• Введите значения элементов матрицы: мышью установите кур­сор на верхнем левом черном прямоугольнике матрицы и введите зна­чение 7;

• нажмите клавишу <Таb>. Курсор переместится на одну ячейку вправо; последовательно введите значения:

нажмите <Enter>;

3. Установите курсор в рабочей области окна под матрицей А и, последовательно выполняя пункты задания № 2, введите с клавиатуры имя матрицы В:

нажмите <Ctrl> + <М> и задайте размер матрицы В — 3x1;

введите матрицу В: , нажмите <Enter>.

4. Создайте обратную матрицу А^-1: ,

введите с клавиатуры А. Нажмите <Shift> + <6> и введите -1. На­берите знак "="; нажмите <Enter>.

5. Для нахождения корней системы линейных уравнений требуется вычислить определитель det. В изучаемом пакете вычисление опреде­лителя осуществляется записью следующего выражения: det: = |А|. Наберите его, используя соответствующую пиктограмму панели инстру­ментов. Выведите на экран полученное значение det = <Enter>. Поя­вится запись det = 105. Если значение определителя det не равно нулю, то есть матрица коэффициентов А невырождена, задача имеет одно­значное решение во всех случаях и для любого вектора В найдется единственный вектор X, удовлетворяющий заданной системе уравне­ний (1).

6. Чтобы найти вектор X, выполните следующее:

• введите с клавиатуры Х:А^{^}-1;

• нажмите два раза клавишу вправо → и наберите *В;

• нажмите клавишу <Enter>. На экране появится X:=A^-1.B.

7. Введите с клавиатуры Х= и нажмите клавишу <Enter>. На экране появится результат решения — матрица 3x1. Убедитесь, что все компоненты вектора X равны единице.

8. Чтобы вывести на экран значения X₁, X₂, Х₃, выполните следую­щее:

• введите с клавиатуры Х[1= нажмите <Enter>. На экране появится X1= значение первого корня;

• введите с клавиатуры Х[2= нажмите <Enter>. На экране появится Х2= значение второго корня;

• так же получите и значения третьего корня.

Задание 6. Решение нелинейных уравнений

Определить значение корня уравнения х+lg(x)+ln(x/10) = 11.1 с точностью 10^-3, если известно, что х  [10;11].

Многие уравнения не имеют аналитических решений. Они могут решаться численными методами с заданной погрешностью. Для про­стейших уравнений вида F(x) = 0 решение находится с помощью функции root (Выражение, Имя_переменной). Функция root возвращает значение переменной, при котором выражение становится равным нулю, т. е. F(x) = 0.

Для решения уравнения надо сначала задать начальное значение переменной. Функция всегда имеет несколько решений, поэтому выбор решения определяется начальным значением переменной.

Введем условные обозначения:

f(x) — функция, приравниваемая к 0; TOL — точность вычисления;

х — начальное значение переменной; x1 — приближенное решение функции f(х).

1. Выведите на экран панели инструментов, необходимые для работы(Math Palette, Arithmetic Palette (Счет)):

2. Задание вида функции и условий:

• в рабочей области экрана с клавиатуры введите функцию f (х): = х + lg(x) + ln(x/10) - 11.1;

• в рабочей области экрана введите точность TOL: = 10^-3 и началь­ное значение переменной х: = 10;

• функции, которые не заданы в MathCad в явном виде, необходимо выразить через другие функции, например lg(x) = ln(x)/ln(10).

3. Решение нелинейного уравнения с помощью функции root.

В рабочей области экрана наберите xl: = root(f(x),ч). Нажмите <Enter>.

4. Вывод на экран значения xl:

• наберите xl = <Enter>. На экране появится приближенное значение X1. По умолчанию количество знаков после запятой равно 3;

• если требуемая точность превышает 10^-2, необходимо изменить формат вывода результата на экран командой F10→Format→Number→Displayed Precision.