Абсолютные и средние показатели вариации.

К абсолютным и средним показателям вариации относятся:

1. Размах вариации: . Самый простой показатель по расчёту, но улавливает только крайние отклонения, не отражает отклонений всех вариант в ряду. Измеряется в тех же единицах, что и варианты.

2. Среднее линейное отклонение:

или

Это средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины, без учёта знака этих отклонений. Единица измерения как у вариант.

3. Дисперсия (мера вариации) или средний квадрат отклонений:

или

Это средняя арифметическая из возведенных в квадрат отклонений вариант от средней величины. Не имеет единиц измерения.

4. Среднее квадратическое отклонение: это квадратный корень из дисперсии . Оно характеризует вариацию признака в абсолютном выражении, измеряется в тех же единицах, что и признак (варианта).

Среднее квадратическое отклонение является критерием надёжности средней величины. Чем оно меньше, тем лучше средняя арифметическая отражает изучаемую совокупность.

Средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. влияние главных факторов на изменение признака. Среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Показатели относительного рассеивания.

Относительные показатели характеризуют вариацию признака в относительном выражении. Рассчитываются, когда сравнивается один признак в двух одноимённых совокупностях, но относящихся к разным единицам наблюдения, при различных значениях средних в этих совокупностях, а также при сравнении разнородных совокупностей. К ним относятся:

1. Коэффициент осцилляции: ; отражает колебания крайних значений признака вокруг средней в процентах.

2. Относительной линейное отклонение: ; характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений в средней величине.

3. Коэффициент вариации: .

Он используется для оценки типичности средних величин. Является критерием надёжности средней: если коэффициент вариации меньше 35-40%, то признак колеблется не сильно. Следовательно, средняя величина надёжна, а изучаемая совокупность однородна.

Часто применяется в тех случаях, когда нельзя сравнить средние показатели разных явлений напрямую. Например, что больше варьирует - рост мальчиков одного возраста или их вес (в м., см. – рост, вес – в кг., г.). Если , - вес варьирует больше, чем рост.

Дисперсия альтернативного признака.

Показатели вариации рассчитываются не только для количественных признаков, но и для альтернативных. Альтернативным называется признак, которым обладают одни единицы совокупности и не обладают другие (два взаимоисключающих варианта: пол – мужской, значит, не женский).

В статистике наличие альтернативного признака обозначается 1, а его отсутствие – 0. Доля вариантов, обладающих признаком, обозначается «p» , а доля вариантов, не обладающих – «q».

; ; = p (1 – p);

2.4 Выборочное наблюдение

Эффективность выборочного метода заключается в коротких сроках проведения обследования и в минимизации затрат труда и финансовых средств.

Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика всей совокупности обследуемых единиц даётся по их части, отобранной в случайном порядке (обычно 5-10%, реже 15-25%).

Выборочное наблюдение даёт возможность, не прибегая к сплошному обследованию, получить обобщающие характеристики изучаемого явления.

Совокупность, из которой производиться отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Часть единиц совокупности, которая отобрана и подвергается обследованию, называется выборочной совокупностью (выборкой).

В выборочном наблюдении применяются два вида обобщающих показателей: относительная величина альтернативного признака (доля единиц, обладающих изучаемым признаком) и средняя величина количественного признака.

В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (P), а средняя величина изучаемого варьирующего признака – генеральной средней ( ).

В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей (p), а среднюю величину в выборке – выборочной средней ( ).

Задачей выборочного наблюдения является получить достоверное представление о генеральных показателях доли и средней величины на основе аналогичных характеристик выборочной совокупности.

Обобщающие показатели у части единиц совокупности не совпадают с соответствующими показателями для всех единиц. Одной из задач выборочного наблюдения является определение пределов отклонений характеристик выборочной совокупности и генеральной совокупности.

Возможные пределы отклонений генеральной и выборочной долей, а также генеральных и выборочных средних, называются ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Чем она меньше, тем точнее показатели выборочного наблюдения отражают генеральную совокупность.

Ошибка выборки зависит от численности выборки (обратная зависимость) и от степени варьирования изучаемого признака (прямая зависимость). Все возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности аккумулируются в формуле средней ошибки выборки. Она рассчитывается по-разному в зависимости от способа отбора единиц. Применяется повторный или бесповторный способ.

При повторном отборе каждая попавшая в выборку единица после фиксации значения изучаемого признака возвращается в генеральную совокупность и может быть опять случайно отобрана.

На практике чаще применяется бесповторный отбор, когда отобранные единицы в генеральную совокупность не возвращаются.

Повторный отбор.

1. для показателя средней величины количественного варьирующего признака средняя ошибка выборки определяется:

(1),

где - дисперсия варьирующего признака в выборочной совокупности

n - численность единиц выборочной совокупности.

2. для показателя доли альтернативного признака:

(2),

где p – доля признака в выборочной совокупности, n – численность выборки.

Бесповторный отбор.

При этом способе отбора численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе выборки, поэтому:

1)для показателя средней величины количественного признака средняя ошибка выборки будет определяться по формуле:

(3),

где N – численность единиц генеральной совокупности

2)для показателя доли альтернативного признака:

(4)

Данные формулы (1), (2), (3), (4) применяются при случайном и механическом способах образования выборочной совокупности.

Доказано, что генеральные характеристики отклоняются от выборочных на величину ±μ с вероятностью равной 0,638. Это означает, что в 683 случаях из 1000 генеральная доля (генеральная средняя) будет находиться в пределах ±μ от выборочной доли (выборочной средней), а в 317 случаях выйдет за эти пределы.

Вероятность суждений можно повысить, а границы расширить, если увеличить среднюю ошибку выборки в несколько раз (t раз, t=2,3,4...).

Величина, полученная как произведение t и средней ошибки выборки, называется предельной ошибкой выборки, т.е.

(5) и (6),

где t – коэффициент доверия. Он зависит от вероятности наступления событий и находится по готовым таблицам функции F(t), определённой русским математиком А.М. Ляпуновым.

Размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборочной совокупности. Средняя ошибка выборки обратно пропорциональна , т.е. при увеличении численности выборки в 4 раза, её ошибка уменьшаются вдвое.

Увеличивая численность выборки, можно довести её ошибку до очень малых размеров. Однако задача выборочного наблюдения - получение необходимой информации с минимальными затратами, т.е. в каждом случае численность выборки должна быть оптимальной. Необходимой численности выборки рассчитывается из формулы предельной ошибки выборки, т.е. исходя из формул (5) и (6).

Для определения необходимой численности выборки при исследовании конкретного явления в указанных формулах за выборочную дисперсию и выборочную долю принимаются приближённые значения или значения этих показателей из других аналогичных выборочных обследований.

После определения выборочных характеристик и ошибок выборки находятся генеральные показатели.

Существует два способа распространения выборочных характеристик на генеральные показатели:

1. прямой пересчёт показателей выборки для генеральной совокупности;

2. расчёт поправочных коэффициентов.

Способ прямого пересчёта состоит в том, что показатели выборочной доли или выборочной средней распространяются на генеральную совокупность с учётом ошибки выборки. Для этого соответствующие обобщающие показатели выборочной совокупности корректируются величиной предельной ошибки выборки, т.е.

1. средняя величина количественного признака в генеральной совокупности определяется как:

(15)

2. доля альтернативного признака в генеральной совокупности определяется как:

(16).

Способ поправочных коэффициентов применяется в случаях, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного учёта. Для этого после обобщения данных сплошного учёта практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением «процента недоучёта».

Предупреждение ошибок выборки достигается благодаря применению научно-обоснованных способов формирования выборочной совокупности.

Случайная выборка - случайный отбор отдельных единиц из генеральной совокупности. Количество единиц определяется, исходя из доли выборки (5%, 10%).

. Отсюда: .

Например, при 5% выборки и N=2000ед., n=5*2000/100=100ед.

Она может быть осуществлена по схеме повторного и бесповторного отбора.

Механическая выборка – отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности через равные интервалы. Величина интервала равна обратной величине доли выборки (1:0,05=20ед. при 5% выборке). При этом все единицы генеральной совокупности должны быть упорядочены по какому-либо признаку: существенному, второстепенному или нейтральному. В каждом случае – разный подход к отбору, например, при упорядочении по нейтральному признаку может быть взята любая единица из группы в 20 единиц.

Механическая выборка бывает только бесповторной.

Типическая выборка – когда генеральная совокупность предварительно разбивается на однородные по какому-либо признаку (типу) группы. Далее, из каждой группы в случайном порядке или механически отбираются единицы в выборочную совокупность. Применяется при изучении сложных явлений, например, при исследовании производительности труда работников, разбитых на группы по квалификации. При этом способе отбора достигается наиболее высокая репрезентативность выборки.

Отбор единиц в выборочную совокупность может проводиться повторным и бесповторным способом.

Серийная выборка – когда из генеральной совокупности обираются не отдельные единицы, а целые серии (гнёзда), внутри которых обследуются все единицы (например, товар упакован в коробки, т.е. серия - коробка). Отбор серий производится в случайном или механическом порядке и бывает только бесповторным. Серийная выборка даёт более высокую ошибку репрезентативности, т.к. обследуется небольшое число серий.

2.5 Ряды динамики

Статистический ряд динамики (временной ряд) – это статистические данные, отображающие развитие явлений во времени.

Для каждого отрезка времени в ряду динамики приводятся два показателя: показатель времени (t) и уровень ряда (y).

Ряды динамики классифицируются:

1. в зависимости от способа выражения уровней – на ряды абсолютных, относительных и средних величин;

2. в зависимости от выражения явления во времени – на интервальные ряды (величина явления показывается за определенные интервалы времени) и моментные ряды (величина явления показывается на конкретный момент времени или дату).

Ряды динамики бывают с равными и неравными периодами времени.

Таблица 4. - Жилищное строительство в г. Омске

Год	2008	2009	2010	2011
Ввод в действие жилых домов, тыс. кв.м.	220,6	397,6	595,2	723,4

Это интервальный ряд динамики абсолютных величин с равноотстоящими уровнями во времени. Его уровни характеризуют объем изучаемого явления за каждый год. Уровни интервального ряда динамики суммируются.

Таблица 5. - Численность постоянного населения города (на 1 января).

Год	2008	2009	2010	2011
Всё население, тыс. чел.	1145,2	1142,8	1138,8	1134,7

Это моментный ряд абсолютных величин с равноотстоящими во времени уровнями. Уровни моментного ряда динамики содержат элементы повторного счета, поэтому суммироваться не могут. Также не суммируются уровни рядов динамики, состоящих из средних и относительных величин, из-за отсутствия смысла.

Для получения правильных выводов при анализе рядов динамики необходимо привести их данные в сопоставимый вид. Несопоставимость в рядах динамики возникает в связи с происходящими с течением времени изменениями в развитии социально-экономических и общественных явлений. Причинами несопоставимости могут быть: территориальные изменения (границ); различие применяемых в разные периоды времени единиц измерения, цен; изменение валюты; изменения в методике первичного учета; неоднородность состава совокупностей во времени; разная продолжительность показаний времени (например, обычный год в 365 дней и високосный год в 366 дней) и т.д.

Смыкание рядов динамики (объединение) производится в связи с территориальными (организационными, ведомственными) изменениями, когда имеются уровни ряда динамики, исчисленные до изменения границы и после ее изменения. Для пересчета необходимо наличие переходного звена – коэффициента пересчета. Он определяется по новым и старым данным за одинаковый период времени. Пересчет производится либо в новые границы, либо в старые.

Для устранения различий в единицах измерения производится пересчет в соответствии с существующими соотношениями этих единиц. Различия валют при сопоставлении показателей устраняется при помощи официальных курсов валют на соответствующую дату.

Для устранения влияния изменения цен сравниваемые стоимостные показатели (например, объем товарооборота) пересчитываются в сопоставимые (или базисные) цены с помощью индексов цен.

Для приведения в сопоставимый вид уровней ряда в связи с изменениями в методике первичного учета обычно пересчитываются показатели, полученные до изменения, путем исключения (или включения) в них конкретных элементов (статей).

Для количественной оценки динамики изучаемых явлений применяются абсолютные и относительные показатели рядов динамики:

1. абсолютные приросты;

2. темпы роста;

3. темпы прироста;

4. абсолютное значение одного процента прироста.

При расчете данных показателей необходимо правильно выбирать базу сравнения. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели. При сравнении каждого уровня ряда с одним и тем же уровнем, принятым за базу, получают базисные показатели.

1.Абсолютный прирост (убыль) (Δ) - выражает абсолютную скорость роста (снижения) уровней ряда динамики. Выражается в единицах измерения уровней ряда. Определяется как разность двух сравниваемых уровней, поэтому бывает положительным (прирост) или отрицательным (убыль).

- цепной

- базисный

2.Темп роста (снижения) (k) – выражает интенсивность изменения уровней ряда динамики. Выражается в коэффициентах или процентах ( %). Показывает, во сколько раз (если в коэффициентах) данный уровень ряда больше другого или какую часть от базы сравнения он составляет.

Цепной:

Базисный: (за базу, обычно, принимают первый уровень ряда)

Если темпы роста выражены в коэффициентах, то легко перейти от цепных темпов роста к базисным и обратно:

а) произведение цепных темпов роста равняется соответствующему базисному;

б) частное от деления базисных темпов роста равно промежуточному цепному темпу роста.

3.Темп прироста (убыли) (∆k) – выражает изменение величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню либо как темп роста (снижения) в процентах минус 100%. Выражается в коэффициентах или в процентах.

Цепной: или (или )

Базисный: или (или ).

Темп прироста показывает, на сколько процентов увеличились (уменьшились) размеры явления (уровня ряда) за изучаемый период времени.

4.Абсолютное значение 1% прироста (A) – результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах. Рассчитывается только как цепной показатель; выражается в единицах измерения уровней ряда. Показывает, сколько составляет 1% прироста (убыли) в абсолютных единицах.

или .

Средние показатели рядов динамики являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Система средних показателей рядов динамики включает:

1. средний уровень ряда динамики;

2. средний абсолютный прирост;

3. средний темп роста;

4. средний темп прироста.

1.Средний уровень ряда рассчитывается в зависимости от вида ряда динамики и способов получения статистических данных:

а) в интервальном ряду динамики с равными временными периодами – по формуле средней арифметической простой:

б) в интервальном ряду динамики с неравными временными периодами – по формуле средней арифметической взвешенной:

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

в) для моментного ряда с равноотстоящими во времени уровнями средний уровень ряда определяется по формуле средней хронологической:

, где n – число уровней ряда.

г) для моментного ряда с уровнями, отстоящими друг от друга на неравные промежутки времени, он рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где - средний уровень, рассчитанный из двух соседних уровней ряда (моментов) по формуле простой арифметической;

- число периодов времени, в течение которых не меняется.

2.Средний абсолютный прирост можно определить по цепным абсолютным приростам: или как .

3.Средний темп роста (среднегодовой) можно рассчитать по формуле средней геометрической, используя цепные темпы роста в коэффициентах:

или используя абсолютные уровни ряда динамики: ,

где m – число темпов роста k, - начальный уровень ряда.

4.Средний темп прироста определяется исходя из взаимосвязи между темпами роста и темпами прироста:

(или k-1).

При изучении рядов динамики часто возникает необходимость сравнить одновременно развивающиеся во времени одинаковые явления, но относящиеся к разным странам, территориям (международные сравнения) или проследить развитие разных явлений. В этих случаях можно сравнивать только относительные показатели, исчисленные к единой базе (общему основанию, например, одному году). Этот приём называется приведением рядов динамики к единому основанию. Сущность приёма состоит в расчёте базисных темпов роста и прироста. Принятый за базу период (момент) времени выступает как постоянная база расчётов темпов роста для каждого из изучаемых рядов динамики.

Выявление основной тенденции ряда динамики.

Важным направлением анализа рядов динамики является определение тенденции развития явлений и процессов (роста или снижения), т.е. тренда.

В некоторых рядах динамики основная тенденция проявляется при визуальном обзоре, в противном случае используют специальные методы (приёмы) выявления основной тенденции развития.

Существует три основных метода выявления основной тенденции:

1.Метод укрупнения интервалов развития – основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда (например, суточные данные сводятся в месячные, месячные в квартальные, квартальные – в годовые и т.п.)

2.Метод скользящей средней – основан на замене абсолютных данных средними арифметическими показателями за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Интервал скольжения может быть как чётным (четырёхчленная средняя, шести-, восьми- и т.д.) – в этому случае полученный средний показатель относится к середине между двумя датами, так и нечётным (трёхчленная, пятичленная и т.п.) – тогда скользящая средняя записывается напротив даты, соответствующей середине интервала.

3.Аналитическое выравнивание рядов динамики по математической кривой (прямой, параболе, гиперболе и т.д.) позволяет не только определить тенденцию развития, но и измерить тренд, т.е. получить общие статистические характеристики.

Аналитическое выравнивание по прямой производят, если явление во времени развивается равномерно, когда развитие равноускоренное (равнозамедленное), т.е. стабильны темпы прироста. При переменном развитии явления (ускорение, потом замедление) выравнивание производится по параболе 3-го порядка и т.д. В целом выбор кривой (временной функции) определяется темпами развития во времени.

Сущность метода аналитического выравнивания – основной тренд (тенденция развития) представляется как временная функция: .

В динамическом ряду со стабильными абсолютными приростами выравнивание производится по функции прямой:

,

где t – время; - уровень тренд; - параметры уравнения; - коэффициент регрессии, определяет направление развития;

если , то наблюдается рост уровней ряда в среднем на эту величину (равномерный)

если , то наблюдается снижение уровней ряда в среднем на эту величину (равномерное).

Для вычисления параметров функции с помощью метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

или

Рассчитанные таким образом параметры подставляют в уравнение прямой. Подставляя в это уравнение показатели времени, определяют теоретические уровни ряда динамики и определяют тенденцию развития в конкретном ряду динамики.

По полученному уравнению прямой также можно составить прогноз развития изучаемого явления.

Статистическая оценка возможностей развития социально-экономических явлений является важным условием регулирования рыночных отношений.

Экстраполяция – это нахождение значений функции за пределами её области определения на основе информации о поведении функции в области определения. При изучении рядов динамики это продолжение уровней ряда динамики в будущее (перспективная экстраполяция) или в прошлое (ретроспективная экстраполяция) на основе выявленной закономерности измерения уровней в изучаемом отрезке времени.

Интерполяция – это нахождение промежуточных значений функции в области её определения, т.е. в рядах динамики – для нахождения промежуточных уровней временного ряда.

Основой прогнозирования является предположение, что закономерность, действующая внутри анализируемого ряда динамики как базы прогнозирования, сохраняется в дальнейшем.

2.6 Индексы

Статистический индекс (index - показатель) – это относительная величина сравнения сложных совокупностей и их отдельных единиц. Сложной называется статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не поддаются суммированию (например, объем продукции разных видов или объем товарооборота в натурально-вещественной форме).

Основой индексного метода является переход от натурально-вещественной формы выражения сложных явлений к стоимостным измерителям.

Индексный метод позволяет решить задачи: 1)сравнить характеристики совокупностей, состоящих из не суммируемых элементов; 2)провести факторный анализ, то есть измерить влияние различных факторов на обобщающий показатель; 3)проанализировать влияние структурных сдвигов на обобщающий показатель.

В зависимости от сущностей показателей, характеризующих изучаемое явление (совокупность) индексы делятся на индексы количественных показателей (количества продукции, физического объема товарооборота, национального дохода и т. п.) и индексы качественных показателей (индексы цен, себестоимости, производительности труда).

В зависимости от степени охвата единиц совокупности индексы делятся на индивидуальные и общие.

Индивидуальные индексы характеризуют изменение во времени (или в пространстве) отдельных единиц статистической совокупности. Обозначаются "i", выражаются в коэффициентах или в процентах. Индивидуальный индекс цен рассчитывается по формуле:

, где P₁ – цена товара в текущем, а P₀ – цена товара в базисном периоде

Например, изменение цены в рублях булки хлеба одного вида в текущем квартале по сравнению с предыдущим составит:

или 144,4%, то есть цена товара выросла за рассматриваемый период на 44,4%

Индивидуальный индекс количества проданных товаров (физического объема реализации) в натуральных единицах измерения рассчитывается по формуле:

, где q₁ и q₀ - количество товара, реализованное в отчетном и базисном периодах

Индивидуальные индексы, характеризующие изменение явлений во времени - это относительные показатели динамики (темпы роста). Они могут рассчитываться по данным за несколько периодов времени в цепной или базисной формах.

Общие индексы (сводные) выражают обобщающие результаты изменения во времени (или в пространстве) всех единиц, образующих статистическую совокупность (сложного явления в целом). К ним относятся: общий индекс цен, общий индекс динамики товарооборота, общий индекс затрат, общий индекс продукции и т. п. Обозначаются как "I". Так общий индекс динамики товарооборота рассчитывается по формуле:

,

где - фактический товарооборот отчетного периода

- фактический товарооборот базисного периода

Каждый общий индекс имеет две части: 1) индексируемая величина, 2) веса.

Индексируемая величина – это значение признака статистической совокупности, изменение которого является объектом изучения. Так, при изучении изменения цен индексируемой величины будет цена единицы товара "p", а весами – количество товара в натуральных единицах измерения – "q". При изучении изменения физического объема товарооборота индексируемой величиной является количество товара в натуральных измерителях – "q", а весами – цена единицы товара – "p".

По методологии расчета все общие индексы делятся на агрегатные и средние из индивидуальных индексов (средневзвешенные индексы).

Основной формой общих индексов является агрегатная форма. В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемых статистических совокупностей.

Веса в агрегатных индексах применяются для достижения сопоставимости разнородных единиц сложных совокупностей, то есть для перехода к однородным показателям. Для выявления влияния какого-либо конкретного фактора на индексируемую величину веса фиксируются на одном уровне (текущего или базисного периода).

Условием применения агрегатной формы индексов является наличие данных о количественных характеристиках изучаемого явления (товара, продукции и т. п.) в натуральных измерителях и данные о стоимости единицы товара.

Т аблица 6. - Реализация товаров на рынке города за два периода.

Рассчитаем общий индекс динамики товарооборота в фактических ценах: (140,8%) Данный индекс показывает, что товарооборот отчетного периода в фактически действовавших ценах вырос по сравнению с товарооборотом базисного периода на 40,8% или на 347000 рублей. Общий прирост (снижение) явления рассчитывается как разность числителя и знаменателя данного агрегатного индекса: рублей.

Агрегатный индекс физического объема товарооборота имеет вид: (126,7%) Данный индекс показывает изменение объёма товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным в сопоставимых ценах, то есть в ценах, зафиксированных на уровне базисного периода. Таким образом, устраняется влияние цен и определяется рост (снижение) товарооборота вследствие изменения количества проданных товаров, в нашем примере, это рост товарооборота на 26,7% или на 227000 рублей. Абсолютный прирост или снижение: Правило: в индексах, характеризующих динамику объемов продаж и производства продукции, количества чего-либо, взвешивание производится по ценам базисного периода (прошлого), чтобы устранить влияние изменения цен на величину индекса.

Агрегатная форма индекса цен имеет вид:

(111,1 %)

Этот индекс называется индексом Пааше (немецкий экономист). Он показывает изменение уровня цен по конкретной массе товаров; в данном примере, что в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом цены повысились в среднем на 11,1%, вследствие чего товарооборот вырос на 120000 рублей. Разница между числителем и знаменателем общего индекса цен показывает абсолютное изменение (экономию или перерасход) денежных средств, потраченных на приобретение товаров населением.

Правило: в индексах качественных показателей веса берутся на уровне отчетного периода.

Существует другой способ определения агрегатного индекса цен, предложенный немецким экономистом Э. Ласпейресом:

- индекс Ласпейреса

Индексы Пааше и Ласпейреса характеризуют различные качественные особенности изменения цен и поэтому не совпадают при расчете. Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде. Индекс Ласпейреса характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в базисном периоде.

Индексный метод применяется для выявления и количественного определения влияния отдельных факторов на изменение сложных явлений. Для этого используются системы индексов (взаимосвязанные индексы). Чтобы образовать систему индексов, необходимо веса в разных индексах брать на уровне разных временных периодов.

Рассмотренные выше три индекса - общий индекс динамики товарооборота, общий индекс физического объема товарооборота и общий индекс цен, образуют систему индексов:

или

В данной системе изменение товарооборота в фактически действовавших ценах в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом зависит от изменения количества проданных товаров в натуральных измерителях (индекс физического объема) и от изменения цен на проданные товары (индекс цен).

Абсолютное изменение фактического товарооборота (прирост, снижение) также зависит от изменения физического объема реализации товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом и от изменения цен за аналогичные временные периоды.

Взаимосвязанные общие индексы применяются во многих других случаях: для анализа производственной деятельности предприятий применяются индекс динамики стоимости продукции, индекс оптовых цен и индекс физического объема продукции; для анализа затрат на производство – индекс себестоимости продукции, индекс физического объема продукции и индекс динамики затрат на производство и т. п.

Так, общий индекс затрат на производство имеет вид:

,

где Z₁, Z₀ - себестоимость единицы продукции в текущем, базисном периоде соответственно

q₁, q₀ - количество произведенной продукции в текущем, базисном периоде соответственно

Общий индекс физического объема продукции рассчитывается как:

, а общий индекс себестоимости имеет вид:

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель – условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя покажет сумму экономии (перерасхода) предприятия от снижения себестоимости единицы продукции.

Все три индекса взаимосвязаны:

Любой общий индекс можно представить как среднюю величину, взвешенную из индивидуальных индексов (вторая форма выражения общих индексов). Форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу. Применяются две формы расчета общих индексов: средняя арифметическая форма и средняя геометрическая форма.

1.В тех случаях, когда отсутствуют данные о количестве товаров (продукции) в натуральных измерителях, но есть информация о стоимости реализованных товаров (произведенной продукции) и индивидуальные индексы изменения объемов товаров (продукции), можно определить агрегатный индекс физического объема товарооборота (продукции) по средней арифметической форме: , где .

Чтобы средний арифметический индекс был тождественен агрегатному, весами индивидуальных индексов в нем должны быть взяты слагаемые знаменателя исходного агрегатного индекса.

В тех случаях, когда нет информации о количестве товаров (продукции) в натуральной форме, но есть учет реализации товаров (производства продукции) в стоимостном выражении и индивидуальные цены на товары (продукцию), для определения сводных показателей изменения цен применяется форма средняя гармоническая: , где

Чтобы средний гармонический индекс был тождественен агрегатному, весами индивидуальных индексов в нем должны быть взяты слагаемые числителя исходного агрегатного индекса.

Для изучения влияния изменений в структуре социально-экономических явлений применяются индексы средних величин. На среднюю величину оказывают влияние значение усредняемого признака и численность отдельных вариантов, например, на среднюю цену товара влияет различие цен на этот товар на разных рынках, в магазинах, а также изменение объема и структуры реализации товара.

Для анализа влияния структурных сдвигов применяется система индексов, в которой показатель динамики средней величины (индекс переменного состава) является произведением двух индексов: индекса средней величины в неизменной структуре (индекс постоянного состава) и индекса влияния изменение структуры на динамику средней величины (индекс структурных сдвигов).

Данная система чаще всего применяется в случаях, когда один вид товара реализуется в нескольких местах или один вид продукции производится на разных предприятиях. Индекс переменного состава рассчитывается по формуле:

,

где x₁, x₀ – значения признака (варианты), в текущем и базисном периодах, соответственно

f₁, f₀ – численность вариант в текущем и базисном периодах.

В индексе постоянного состава численность вариант фиксируется на уровне текущего периода (фиксируется состав), т. е. он показывает непосредственное изменение изучаемого признака.

В индексе структурных сдвигов изменяются частоты, а уровень признака фиксируется по базисному периоду, т. е. он показывает влияние изменений в структуре (составе) явления на изучаемый признак.

Абсолютные изменения средних показателей также взаимосвязаны: ,

то есть или

Пример:

Таблица 7. - Основные показатели производственной деятельности ДСК города

и

или (112,85%),

то есть в среднем стоимость строительства 1 кв. м. жилья выросла в 2000г. по сравнению с 1999г. на 12,85% или на 0,5 тыс. руб.

или 114,92%,

то есть изменение стоимости строительства при неизменной доле ДСК-1 и ДСК-2 в объеме строительства увеличило стоимость 1кв. м. на 14,9% или 0,57 тыс. руб.

или 98,2%,

то есть изменение структуры строительства жилья (увеличение доли ДСК-1 и снижение доли ДСК-2 с более высокой стоимостью 1 кв. м.) привело к снижению средней стоимости строительства 1 кв. м. жилья на 1,8% или 0,07 тыс. руб.

Взаимосвязь:

1,1285=1,1492*0,9820 и 0,5=0,57-0,07

В данной системе индексов можно выразить число вариант каждого объекта в виде удельного веса (доли) "d" в общем количестве вариант: