2.2. Вычисление наращенной суммы инвестиций на основе простого и сложного процента

Существует две основные схемы наращения капитала: простые проценты и сложные. Начнем с первой схемы.

1. Начисление простых процентов предполагает неизменность базы, с

которой начисляются проценты. Предположим, что время, разделяющее текущую и будущую стоимость равно "n" временным интервалам. Тогда процентная ставка и связь будущей и текущей стоимости будут определяться выражением:

r_t=n r (2.2.1)

(2.2.2)

Эти выражения являются простейшими модификациями зависимостей

(2.1.2) и (2.1.3).

Пример 1. Ссуда в размере 42 тыс. руб. выдана на 2 года по простой ставке процента 25% годовых. Определить компаундинг (наращенную сумму, капитализацию).

Решение. По формуле (2.2.2) находим

63 тыс. руб.

Пример 2. Кредит в размере 210 тыс. руб. взят на 75 дней под 34% годовых. Найти наращенную сумму кредита.

Решение. По формуле (2.1.6) вычисляем

210 тыс. руб (1+ )=224,875 тыс.руб.

В дальнейшем будем пользоваться только сложными процентами.

2. Схема сложных процентов предполагает изменение базы, с которой

начисляются проценты. Точнее, проценты следующего года исчисляются не с первоначальной стоимости, а со всего капитала, который образовался к началу следующего года. Возникает ситуация "начисления процента на процент", которая ведет к большему наращению капитала. Формулы сложных процентов также являются модификацией базовых формул (2.1.2) и (2.1.3).

r_t=(1+r) (2.2.3)

FV =PV (1+r) (2.2.4)

Величина

(1+r) =F₁(r,n)

является распространенной функцией финансовых вычислений. Она протабулирована, называется мультиплицирующим множителем (коэффициентом) или будущей стоимостью денежной единицы и показывает чему будет равна денежная единица через "n" периодов при начислениях по правилу сложных процентов и ставке "r" в одном периоде (см. приложение 1).

Пример 3. Вкладчик положил в банк 3000 руб. под 16% годовых. Определить наращенную сумму (капитализацию, компаундинг) через 4 года.

Решение . По формуле (2.2.4) находим :

FV = 3000 (1+0,16)⁴=3000 1,811=5432 руб.

Часто начисление/взимание процентов производится не один раз в год, а несколько раз - m. Например, ежеквартально, ежемесячно и т.п. По сложившейся практике заданная годовая ставка процента в этом случае делится на "m", а наращенная сумма определяется уже не по формуле (2.2.4), а по формуле :

FV=PV (1+ ) (2.2.5)

Пример 4. Вкладчик положил в банк 3000 руб. под 16 % годовых. Определить наращенную сумму через 4 года, если проценты будут начисляться ежеквартально и ежемесячно.

Решение. По формуле (2.2.5) находим соответственно:

FV₄=3000 руб. (1+ ) =3000 1,873=5619 руб.

FV₁₂=3000 руб. (1+ ) =3000 1,888=5665 руб.

Сравнивая результаты примеров 3 и 4 можно сделать вывод о росте капитализации вклада при большей частоте начисления процентов, что связано с эффектом "начисления процентов на начисленный процент".