36

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Мурманский государственный технический университет»

(ФГБОУ ВПО «МГТУ»)

Математическая обработка результатов измерений

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине

“Метрология, стандартизация, сертификация” для направлений 260200.62 «Продукты питания животного происхождения» 260800.62 « Технология продуктов и организация общественного питания» 100800.62 «Товароведение»

Мурманск

2012

УДК. [519.24 : 389.1] : 663/664 (07)

ББК 30.10 В 6

М- 34

Составитель – Ольга Александровна Николаенко, канд. техн. наук, доцент кафедры технологии рыбных продуктов Мурманского государственного технического университета, Барышников Андрей Владимирович, канд. техн. наук, старший преподаватель той же кафедры

Рецензент:

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой технологии пищевых производств «__»__________ 2012 г., протокол № _

Мурманский государственный технический университет

Оглавление

Оглавление 3

Практическая работа 1 4

Определение грубых ошибок измерительного эксперимента и 4

доверительных границ истинного значения измеряемой величины 4

Теоретические сведения 4

Практическая работа 2 11

Установление корреляционной зависимости между измеряемыми величинами 11

Практическая работа 3 22

Проверка гипотезы о равенстве или различии 22

измеряемых величин 22

Приложение 31

Excel, как инструмент для статистических расчетов. 31

Практическая работа 1

Определение грубых ошибок измерительного эксперимента и

доверительных границ истинного значения измеряемой величины

Цель работы: научиться применять математические расчеты для контроля результатов измерений.

Задание:

1. Выявить наличие грубых ошибок в ряду измерений.

2. Определить среднее арифметическое значение для ряда измерений и рассчитать доверительные границы истинного значения измеряемой величины.

3. Определить относительную погрешность для ряда измерений при заданной доверительной вероятности.

Теоретические сведения

Результат измерений – значение величины, полученное путем ее измерений. Результат измерений бывает неисправленный, исправленный и усредненный.

Неисправленный результат измерений – значение физической величины (ФВ), полученное при измерении до введения в него поправок, учитывающих систематическую погрешность.

Исправленный результат измерений – значение ФВ, полученное при измерении и уточненное введением в него необходимых поправок на действие систематических погрешностей.

Усредненный результат измерений – значение ФВ как среднее арифметическое значение кратного числа измерений.

К основным характеристикам качества измерений относятся точность, правильность, воспроизводимость и сходимость результатов измерений.

1. Точность измерений – качество измерений, отражающее близость результата измерений к истинному значению измеряемой величины.

2.Правильность измерений – качество измерений, отражающее близость к нулю систематической погрешности в их результате.

3.Сходимость результата измерений – близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполненных повторно одним и тем же средством измерений (СИ), одним и тем же методом в одних и тех же условиях и с одинаковой тщательностью.

4. Воспроизводимость результатов измерений - близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, полученных разными СИ, или разными методами, или в разных местах и разное время, или разными операторами.

Правильность измерений определяется погрешностью измерений – отклонением результата измерений от истинного (Х_ист) или действительного (Х_Д) значения измеряемой величины (Х _изм).

Истинное значение ФВ применяют только в теоретических исследованиях. На практике используют действительное значение ФВ (Х_Д), где погрешность ΔХ _изм. определяют по формуле:

ΔХ _изм = Х _изм - Х_Д (1.1)

По способу проявления погрешности подразделяются на случайные, систематические, промахи или грубые погрешности.

Систематическая погрешность измерений – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ.

Случайная погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и (или) значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же ФВ.

Грубая погрешность (промах) – это заведомо неправильный результат, возникающий вследствие нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора.

Случайные погрешности не могут быть точно определены, но с помощью математической статистики и теории вероятности можно определить их пределы.

Основу теории случайных погрешностей составляют предположения о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто; большие погрешности встречаются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины); при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений, а появление того или иного результата измерений как случайного события или иного результата измерений как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин, является описание их дифференциальных функций распределения, т.е. плотности распределения вероятности р(х)=dF(х)/d(х). Она всегда неотрицательная и подчиняется условию нормирования: . (р – вероятное события). Достоверное событие имеет вероятность р = 1, невозможное р = 0. Для случайного события , а сумма вероятностей всех возможных значений равна 1.

Зависимость вероятности р ожидания отдельных значений случайной величины от самих этих значений называется функцией распределения или рассеивания. Функция распределения может иметь любую форму. Наиболее часто в качестве модели распределения случайных погрешностей применяется нормальный закон распределения.

Мерой рассеивания результатов измерений является дисперсия, которую вычисляют по формуле:

, (1.2)

где m(x) – математическое ожидание, , х_i – множество возможных значений, p_i – вероятность их появления.

В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела ту же размерность, что и измеряемая величина, вычисляют не дисперсию, а среднее квадратичное отклонение, что также является мерой рассеивания:

(1.3.)

Чем меньше , тем меньше рассеяние, тем больше сходимость результатов измерений.

Для оценки рассеяния небольшого числа измерений (меньше 30) при соответствии их нормальному закону распределения используют исправленные значения дисперсии и среднего квадратичного отклонения:

, (1.4)

где n – число измерений - среднее арифметическое значение измеряемых величин.

Несмотря на то, что истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, при помощи математической статистики можно определить пределы области вокруг экспериментально найденного значения измеренной величины, внутри которой следует ожидать с заданной степенью вероятности (надёжностью) нахождение истинного значения. Эта область называется доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность измерений.

Доверительные границы погрешности результата измерений (μ) – наибольшее и наименьшее значение погрешности измерений, ограничивающее интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое значение погрешности результата измерений.

Ширина доверительного интервала зависит:

• от величины рассеивания результатов измерений (зависит от числа измерений);

-от доверительной вероятности.

Доверительная вероятность(р) –это вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях или в процентах. Обычно для технологических расчетов доверительного интервала пользуются значениями p=0,95; иногда достаточно p=0,90, но при ответственных измерениях требуется более высокая надежность (p=0,99). Значение (1-р) – называется уровнем значимости. Вероятность 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число измерений, то 95 % их определяют такой доверительный интервал, а остальные 5% – выходят за границы доверительного интервала.

Если число измерений меньше 30, то половину ширины доверительного интервала определяют по формуле:

, (1.5)

где t – критерий Стьюдента (квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = n - 1 и двухсторонней доверительной вероятности p (таблица 1.1)).

Доверительный интервал таким образом:

(1.6)

а действительное значение измеряемой величины равно:

(1.7)

Таблица 1.1