Практическое занятие №5 подбор формул по данным опыта по методу наименьших квадратов
Цель занятия: получение навыков составления эмпирических формул по результатам исследований.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Прежде чем приступать к определению эмпирической зависимости, нанесите опытные данные на график (рис.5.1) и визуально оцените, как может выглядеть наиболее правдоподобная линия (прямая, кривая), проходит ли она через начало координат или нет, пересекает ли координатные оси или касается их и т.д. После этой оценки провести предполагаемую линию и по её виду принять гипотезу о виде уравнения, описывающего процесс, а затем по результатам опытов методом наименьших квадратов определить константы, входящие в уравнение.
Используя опытные данные (табл.5.1) нужно найти значение "k" и "b" при котором сумма квадратов разностей расчетных и опытных точек равны, обозначив
(5.1)
24
получим:
,
(5.2)
Откуда:
.
(5.3)
Рис.5.1 Апроксимация экспериментальных данных линейной
зависимостью (методом наименьших квадратов)
Последовательность апроксимациии
На координатную сетку наносятся экспериментальные точки
Расситываются значения по зависимостям 5.1.
По выражению 5.3. определяется коэффициент k
Значение b определяется из уравнения прямой y = k x + b или из уравнений 5.2.
По полученному уравнению проводится прямая линия, апроксимирующая эксериментальные данные линейной зависимостью.
25
Таблица 5.1.
Исходные данные
№ вар |
Экспериментальные данные |
||||||||
1 |
X |
1,73 |
2,46 |
4,51 |
5,34 |
6,32 |
7,2 |
9,24 |
10,71 |
Y |
14,8 |
12,3 |
15,1 |
12,2 |
14,4 |
13,5 |
8,6 |
11,7 |
|
2 |
X |
2 |
4 |
6 |
7 |
9 |
10 |
12 |
15 |
Y |
11,1 |
9 |
12 |
17 |
12,8 |
17 |
13,7 |
20 |
|
3 |
X |
2 |
4 |
6 |
7 |
9 |
10 |
12 |
15 |
Y |
14,6 |
14,6 |
18,7 |
17 |
18,1 |
17 |
21,5 |
20 |
|
4 |
X |
2 |
3,13 |
4,64 |
7 |
9 |
11,09 |
12 |
15 |
Y |
14,6 |
18,1 |
18,7 |
14,8 |
18,1 |
14,6 |
21,5 |
20 |
|
5 |
X |
0,83 |
3,13 |
4,64 |
8,07 |
9 |
11,09 |
12 |
15 |
Y |
14,6 |
13,9 |
8,9 |
9,6 |
22,2 |
14,6 |
24,4 |
20 |
|
6 |
X |
0,83 |
3,13 |
4,64 |
8,07 |
9 |
11,09 |
12 |
15 |
Y |
28,4 |
26 |
23,8 |
24 |
22,2 |
17,3 |
24,4 |
14 |
|
7 |
X |
0,83 |
3,13 |
4,64 |
6,41 |
9 |
11,09 |
12 |
13,9 |
Y |
20,7 |
28,4 |
17,5 |
24 |
26 |
17,3 |
24,4 |
14 |
|
8 |
X |
1,78 |
3,13 |
4,64 |
6,41 |
9 |
11,09 |
12 |
13,9 |
Y |
20,7 |
13,1 |
17,5 |
17,3 |
18,7 |
17,3 |
17,3 |
23,8 |
|
9 |
X |
1,78 |
3,13 |
4,64 |
7,59 |
9 |
11,09 |
13,05 |
13,9 |
Y |
17,2 |
13,1 |
19,3 |
15 |
21 |
17 |
17,3 |
23,8 |
|
10 |
X |
1,78 |
4,12 |
5,68 |
7,59 |
9 |
11,09 |
13,05 |
13,9 |
Y |
17,2 |
14,8 |
19,3 |
15,7 |
21 |
21,1 |
17,3 |
17,6 |
|
11 |
X |
1,78 |
4,12 |
5,68 |
7,59 |
9 |
11,09 |
13,05 |
13,9 |
Y |
17,2 |
18,7 |
19,3 |
15,7 |
11,3 |
10 |
17,3 |
10,7 |
|
12 |
X |
1,78 |
4,12 |
5,68 |
6,76 |
9 |
11,09 |
13,05 |
13,9 |
Y |
11,9 |
13,8 |
12,2 |
15,7 |
11,3 |
11,09 |
12,6 |
10,7 |
|
13 |
X |
1,78 |
3,05 |
5,68 |
6,76 |
7,68 |
9,39 |
11,24 |
12,71 |
Y |
7,4 |
9,1 |
8,7 |
11,3 |
11,3 |
9,3 |
12,6 |
9,1 |
|
14 |
X |
1,78 |
3,05 |
4,27 |
5,63 |
6,9 |
8,37 |
10,37 |
11,63 |
Y |
7,4 |
9,1 |
8,7 |
11,3 |
11,3 |
9,3 |
12,6 |
9,1 |
|
26
Продолжение табл.5.1
№ вар |
Экспериментальные данные |
||||||||
15 |
X |
1,78 |
3,05 |
4,27 |
5,24 |
6,9 |
8,37 |
9,78 |
10,9 |
Y |
7,4 |
9,1 |
8,7 |
11,3 |
7,9 |
12 |
13,2 |
9,1 |
|
16 |
X |
1,29 |
2,51 |
4,27 |
5,24 |
6,9 |
8,37 |
9,78 |
10,9 |
Y |
7,4 |
10,1 |
8,2 |
10,9 |
9,3 |
11,3 |
12,4 |
10,4 |
|
17 |
X |
1,29 |
2,51 |
4,27 |
5,24 |
6,9 |
8,37 |
9,78 |
10,9 |
Y |
1,29 |
4,1 |
8,2 |
5,2 |
9,3 |
11,3 |
14,3 |
10,4 |
|
18 |
X |
1,29 |
2,51 |
4,27 |
5,24 |
6,9 |
8,37 |
9,78 |
10,9 |
Y |
1,29 |
2,2 |
4 |
5,2 |
9,3 |
11,3 |
14,3 |
19 |
|
19 |
X |
1,29 |
3,29 |
4,27 |
5,24 |
6,9 |
8,37 |
9,29 |
10,9 |
Y |
1,29 |
2,2 |
7,8 |
11,2 |
13,3 |
15,1 |
14,3 |
19 |
|
20 |
X |
1,29 |
2,46 |
4,27 |
4,66 |
5,63 |
8,37 |
6,85 |
9,68 |
Y |
1,29 |
6,5 |
7,8 |
11,2 |
13,3 |
15,1 |
14,3 |
16,4 |
|
21 |
X |
1,29 |
2,46 |
3,29 |
4,66 |
5,63 |
6,37 |
8,17 |
9,68 |
Y |
12,4 |
16,7 |
18,9 |
18 |
13,3 |
15,1 |
19,4 |
16,4 |
|
22 |
X |
1,73 |
2,46 |
3,29 |
4,66 |
6,32 |
7,2 |
8,17 |
9,68 |
Y |
12,4 |
16,3 |
11,5 |
20,2 |
13,3 |
15,1 |
19,4 |
19,6 |
|
23 |
X |
1,73 |
2,46 |
3,29 |
4,66 |
6,32 |
7,2 |
8,17 |
9,68 |
Y |
17,3 |
16,3 |
11,5 |
12,2 |
13,3 |
15,1 |
13,5 |
11,7 |
|
24 |
X |
1,73 |
2,46 |
3,73 |
4,66 |
6,32 |
7,2 |
8,17 |
10,71 |
Y |
17,3 |
16,3 |
11,5 |
12,2 |
8,9 |
8,3 |
8,6 |
11,7 |
|
25 |
X |
1,73 |
2,46 |
4,51 |
5,34 |
6,32 |
7,2 |
9,24 |
10,71 |
Y |
14,8 |
12,3 |
15,1 |
12,2 |
14,4 |
13,5 |
8,6 |
11,7 |
|
27