Практичне заняття № 3

Тема: Елементи теорії множин.

Мета: Узагальнення та систематизація знань про множини та операції над ними.

Теоретичний блок:

1. Множини та відношення між ними.

2. Операції над множинами та їх властивості.

Практичний блок:

1. Які з наступних висловлень є істинними:

1. АÌ А;

2. АА;

3. (AВ)Ù(BÌ C)ÞAÌ C;

4. ;

5. (AÌ B)Þ(BÌ A);

6. AÌ ;

7. (AÌ B)Þ(BËA);

8. Ì A.

9. (A\D)È (BÇC);

10. (AÈ BÈ D)\C.

2. Нехай n(A) – число елементів множини А. Які з наступних тверджень правильні, а які ні?

1. (n(A)=n(B))(A=B);

2. (n(A)<n(B))  (AÌ B);

3. (A=B)  (n(A)=n(B));

4. (AÌ B)  (n(A)<n(B));

3. Нехай f і g – многочлени і

Знайти множину розв’язків нерівностей:

1. f(x) ³ 0;

2. f(x) £ 0;

3. f(x) < 0;

4. g(x) £ 0;

5. g(x) ³ 0;

6. g(x) < 0;

7. f(x)g(x) >0;

8. f(x)g(x) ³0;

9. f(x)g(x) <0;

10. f(x)g(x) £0;

11. f(x)g(x) =0;

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

4. Зобразити на діаграмах Ейлера-Венна множини:

а) (А\В)Ç(В\А), в) (А\В)È (В\А).

В якому випадку: (А\В)È (В\А)=АÈ В?

4. Довести наступні твердження:

а) (В\С)\(В\А)Ì А\С,

в) (АÇС)È (ВÇD)Ì (АÈ B)Ç(CÈ D).

4. Довести рівності:

1. ;

2. A\(BÇC)=(A\B)È (A\C);

3. A\B=AÇ ;

4. (A\B)È (B\A)=(AÈ B)\(AÇB);

5. (AÈ B)\C=(A\C)È (B\C);

6. (А\В)È C=(AÈ C)\B.

4. Знайти відношення між парами множин:

1. A\C и (B\C)\(B\A),

2. A\C и (A\B)È (B\C),

3. A\(A\B) и AÇB,

4. (AÇB)È(AÇ )È ( ) и AÈB.

4. Довести твердження:

1. Якщо AÇB=Æ, то (AÈ B)\B=A і B\A=B і A\B=A;

2. Якщо AÌ B, то (A\B)Ì (B\C) і (C\B)Ì (C\A).

3. Якщо BÌ A, то (A\B)È B=A

4. Якщо A=BÈ C, то A\B=C;

Практичне заняття № 4-5

Тема: Метод математичної індукції.

Мета: Оволодіння навичками використання методу математичної індукції при розв’язанні задач.

Теоретичний блок:

1. Аксіоматика Пеано для натуральних чисел. Аксіома індукції, принцип індукції.

2. Метод математичної індукції, його використання для

1. доведення тотожностей;

2. заходження сум;

3. доведення нерівностей.

Практичний блок:

1. Довести тотожність:

   1. ;

   2. 

   3. ;

   4. 

   5. 

2. Знайти суму:

1. 

2. 1+3+5+…(2n-1)

3. 

3. Довести нерівність:

1. 

2. (n³2)

3. (n³3)

4. Довести нерівність: 4.2

5. Довести, що при будь-якому n :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Практичне заняття № 6

Тема: Розвиток поняття про число. Задачі на подільність.

Мета: Узагальнення та систематизація знань про число, подільність у множині цілих чисел.

Теоретичний блок:

1. Відношення «ділитися націло» у множині цілих чисел.

2. Ознаки подільності у множині натуральних чисел.

3. Основна теорема арифметики.

4. Основна теорема алгебри.

Практичний блок:

1. Відомо, що а кратно 3, b кратно 2. Довести, що 2а + 3b кратно 6.

2. Довести, що 1³ + 2³ + …+ 99³ ділиться на 100.

3. Довести, що 1³ + 2³ + …+ 9³ не ділиться на 10.

4. Довести, що сума квадратів двох послідовних цілих чисел при діленні на 4 дає остачу 1.

5. Парне число а при діленні на 3 дає остачу 1. Чому дорівнює остача від ділення числа а на 6?

6. Визначити, чи існує таке ціле число, яке при діленні на 12 дає остачу 11, а при діленні на 18 – остачу 1.

7. Довести, що n² –1 ділиться на 8, якщо n² –1 ділиться на 2.

8. Довести, що при будь-якому цілому n число n(n + 1)²(n + 2) ділиться на 12.

9. Знайти два натуральних числа, сума яких дорівнює 35, а найменше спільне кратне дорівнює 42.

10. Довести чи спростувати твердження: 1) Для того, щоб сума двох нерівних натуральних чисел була простим числом, необхідно, щоб вони були різної парності. Чи є це твердження достатнім? 2) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була простим числом, необхідно, щоб вони були взаємно прості. Чи є це твердження достатнім? 3) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була складеним числом, достатньо, щоб вони обидва були простими. Чи є це твердження необхідним?