Тема 9. Аналіз таблиць взаємної спряженості( співзалежності).

9.1. Таблиці співзалежності.

9.2. Рангова кореляція.

9.1. Таблиці співзалежності.

При стохастичному зв’язку кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які варіюють і утворюють ряд розподілу (умовний). Стохастичний зв’язок проявляється зміною умовних розподілів.

Розглянемо комбінаційну таблицю як результат комбінаційного розподілу господарств за двома ознаками одночасно (за урожайністю та продуктивністю праці у садівництві) (табл.1).

Таблиця 1

Комбінаційний розподіл господарств за урожайністю та продуктивністю праці

Групи за врожайністю, ц/га	Кількість господарств за рівнем продуктивності праці, ц				Разом
	до 270	270-320	320-370	370 і більше
До 70	5	1	-	-	6
70-140	-	4	5	1	10
понад 140	-	-	-	4	4
Разом	5	5	5	5	20

Побудовану таким чином табл.1 називають таблицею співзалежності (взаємної спряженості). У ній у рядках, крім підсумкового, розміщені частоти (частки) умовних розподілів господарств за рівнем продуктивності праці при фіксованому значенні урожайності (при умові, що урожайність зафіксована - умовні розподіли). Підсумковий рядок містить частоти безумовного розподілу. Порівняння частот умовних розподілів дає можливість визначити наявність стохастичного зв’язку. У даному випадку зв’язок між ознаками стохастичний, оскільки кожному значенню (інтервалу значень) ознаки х відповідає декілька значень ознаки у, а частоти розміщені та сконцентровані по діагоналі. При відсутності стохастичного зв’язку між ознаками умовні розподіли були б однакові і збігалися б з безумовним розподілом.

Методи аналітичного групування та кореляційно-регресійного аналізу використовують основні параметри розподілу - середні та дисперсії. Тому ці методи називаються параметричними.

У статистиці широко застосовуються і непараметричні методи визначення взаємозв’язків, які ґрунтуються на кількісних значеннях ознак і не потребують обчислення параметрів їх розподілів. Крім того непараметричні методи застосовуються не тільки тоді, коли ознаки (всі, як у кореляційно-регресійному аналізі, чи результативна, як у методі аналітичного групування) – ознаки метричної шкали, а й тоді, коли є ознаки порядкової (рангової ) чи номінальної шкал. Ця перевага одночасно має й недолік – досягається менша глибина аналізу взаємозв’язку: за їх допомогою визначають лише тісноту та перевіряють істотність зв’язку.

На підставі таблиць взаємної спряженості (співзалежності) аналізуються взаємозв’язки між атрибутивними ознаками. Можна методи аналізу таблиць співзалежності використовувати і для кількісних ознак. Будь які технічні перешкоди відсутні.

Як приклад, розглянемо табл.2, в якій наведено результати соціологічного опитування населення щодо намірів прилучитися до ринку цінних паперів.

Тих, хто не боїться ризикувати, класифікували як ризикованих інвесторів; хто не уявляє ризику без гарантії – обережними; хто уникає ризику – неризикованими.

Таблиця 2

Результати соціологічного опитування про відношення до ринку цінних паперів

Вік, рокв	Тип інвестора			Разом
	ризиковий	обережний	неризиковий
16-30	24	12	4	40
31-50	20	50	30	100
51 і більше	6	18	36	60
Разом	50	80	70	200

Характер розподілу частот, концентрація їх уздовж головної діагоналі свідчать про наявність стохастичного зв’язку між віком і схильністю до ризику.

Мірою тісноти стохастичного зв’язку є коефіцієнт взаємного узгодження. Його обчислення ґрунтується на розбіжностях часток умовних та безумовного розподілів і здійснюється за формулою

,

де підсумкова частота по і–рядку

частка j–стовпця по і – рядку

частка j–стовпця безумовного розподілу.

Для сукупності в цілому є умовних поділів.

Величину можна обчислити, порівнюючи фактичні частоти таблиці співзалежності з теоретичними частотами (за умови незалежності ознак) , тобто

;

,

де підсумкова частота по j-стовпцю.

За відсутності стохастичного зв’язку =0. При цьому частки умовних і безумовного розподілів збігаються. Збігаються також емпіричні (фактичні) та теоретичні частоти: .

На основі розподілу ймовірностей перевіряється істотність зв”язку. Критичні значення для = 0,05 і числа ступенів вільності порівнюють із фактичним . Якщо , то істотність зв”язку між ознаками доведено.

Відносною мірою щільності стохастичного зв’язку слугує коефіцієнт взаємної спряженої (співзалежності).

Існує декілька варіантів його визначення. За умови, що , використовують формулу Чупрова

,

де n – число елементів сукупності;

- число груп за ознакою х ;

- число груп за ознакою у.

Оскільки за відсутності стохастичного зв’язку (тобто, коли ознаки незалежні) =0, то і С = 0. При функціональному зв’язку С 1. Стохастичний зв’язок неявний, коли 0<C<1. Якщо = , то при функціональному зв’язку С = 1. При ≠ навіть при функціональному зв’язку С <1.

У зв’язку з цим при ≠ використовують формулу Крамера

,

де .

Очевидно, що при = значення коефіцієнтів, обчислених за формулами Чупрова та Крамера, збігаються.

Тісноту зв’язку між двома альтернативними ознаками = =2 визначають за допомогою коефіцієнта С для чотириклітинкової таблиці, який називають коефіцієнтом асоціації або контингенції. Позначають його ще буквою А.

За змістом він ідентичний коефіціенту взаємної спряженості, а з пов’язаний функцією : =nА². =nС².

За допомогою коефіцієнта асоціації (контингенції) оцінимо тісноту зв’язку між шкідливою звичкою палити та хворобами легенів (табл.3).

Таблиця 3

Розподіл пацієнтів клініки за результатами легеневих проб.

Наявність звички палити	Результати легеневих проб		Разом
	аномальні	нормальні
Палить	20	5	25
Не палить	10	15	25
Разом	30	20	50

У нашому прикладі

.

Фактичне значення =nС²=50*0,408²=8,32 перевищує критичне значення при . _0,95(1) = 3,89. Істотність зв’язку доведена з імовірністю Р = 0,95

Корисною мірою при аналізі 4-клітинкових таблиць взаємної спряженості є відношення перехресних добутків або відношення шансів.

.

Воно характеризує міру відносного ризику. У нашому прикладі

.

Отже, ймовірність легеневих хвороб у тих, хто палить, у 6 разів вища порівняно з тими, хто не палить.