1.9 Погрешности приближенных чисел
В практике вычислений приходится сталкиваться с приближенными числами двух видов.
1. Приближенные значения таких чисел, как π, e и др. Все эти числа, в принципе, известны с большой точностью, но мы берем их всегда с округлением, которое и определяет величину ошибки.
2. Приближенные значения различных физических величин.
Абсолютная ошибка приближенных чисел 1-го вида принимается равной 0,5 единицы последнего значащего разряда – это обычная ошибка округления. Например, абсолютная ошибка величины e = 2,718 составит Δe = 0,0005.
Намного сложнее обстоит дело с определением ошибки приближенных чисел 2-го вида. Ошибка измерения может быть самой различной, ее указывают при записи результата. Если физическая величина дана без указания ошибки, то применяют правило, по которому абсолютная ошибка такой величины равна единице последнего значащего разряда числа. Например, если масса электрона дана в виде me = 9,109∙10-31 кг, то Δme = 0,001∙10-31 кг.
Часто студенты записывают результат вычисления с таким количеством значащих цифр, которое совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Рассмотрим пример. Пусть требуется определить массу тела m, вес которого р=2,4 Н определен с точностью 0,05 Н. Без критического подхода к вычислениям можно получить такой результат: m = р/g= 2,4/9,81=0,2446 кг. Приближенные числа 2,4 и 9,81 могли быть получены при округлении, например, чисел 2,35 или 2,45 и 9,806 или 9,814 соответственно. Таким образом, масса тела могла оказаться, если ее вычислять с таким же числом значащих цифр, как это сделано выше, или 2,45/9,806=0,2498 кг, или 2,35/9,814=0.2394 кг. Сравнение всех трех результатов показывает, что они отличаются уже вторым десятичным знаком. Таким образом, первый знак является достоверным, второй – сомнительным, а остальные цифры – случайными.
При расчетах принято вычислять все достоверные знаки и один сомнительный.
Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих ниже правил.
1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из исходных чисел. Например, при сложении
4,462+2,38+1,17273+1,0462=9,06093
результат следует округлить до сотых долей, то есть сумму принять равной 9,06.
2. При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из сомножителей содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр плюс еще одна цифра. Например, вместо вычисления выражения
3,723-2,4∙518,46
следует вычислять выражение
3,72-2,4∙518.
В окончательном результате следует оставлять такое количество значащих цифр, сколько имеется у сомножителя с наименьшим их количеством. Аналогичное правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.
3. При возведении в степень у результата следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например,
1,322=1,74.
4. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий.
В промежуточных вычислениях следует сохранять на одну значащую цифру больше, чем предусмотрено указанными правилами. Например, вычислим выражение
.
Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:
.
После округления результата до двух значащих цифр получаем x = 3,8∙10-3.
5. Следует избегать вычитания близких по величине чисел.
6. Числа, содержащие большое количество нулей, следует записывать в нормальной форме, выделяя целую степень десяти, например:
0,00000345 = 3,45∙10-6.