1.2 Ошибки прямых измерений

Ошибки, возникающие при любых измерениях, делятся на два класса: случайные и систематические. Систематические ошибки характеризуются тем, что их знак и величина одинаковы во всех измерениях, проводимых одним и тем же методом с помощью одних и тех же приборов и в одинаковых условиях. Источниками систематических ошибок могут быть несовершенство измерительных приборов, неучет архимедовой силы выталкивания у воздуха при взвешивании и другие.

Случайными называются ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Случайные ошибки обязаны своим происхождением причинам, действие которых неодинаково при каждом измерении и не может быть учтено. Источниками случайных ошибок могут быть дрожание приборов от проезжающего мимо транспорта, отсчет измерения под другим углом зрения на шкалу прибора и другие.

При измерениях всегда присутствуют оба вида ошибок, причем разделить их влияние крайне трудно.

Разновидностью случайных ошибок являются и грубые ошибки или промахи – это обычно неправильные отсчеты по прибору, их неправильная запись и т.п. Промах можно заметить, если проделано несколько измерений одной и той же величины. В большинстве случаев промахи резко отличаются от результатов измерений. При обработке результатов измерений такие отсчеты следует отбрасывать.

Если деление ошибок на систематические и случайные связано с причинами возникновения ошибок, то деление ошибок на абсолютные и относительные говорит о способе их вычисления.

Абсолютная ошибка (Δx) отдельного измерения (x_i) выражается как разность между этим измерением и истинным значением измеряемой величины (x). Поскольку истинное значение величины x неизвестно, за него принимают среднее арифметическое из n измерений, определяемое формулой (1.3) как . Таким образом,

Δx =│x_i - x_ср│. (1.4)

Абсолютная ошибка имеет размерность измеряемой величины x.

Относительной ошибкой ( ) отдельного измерения называется отношение абсолютной ошибки (1.4) к среднему арифметическому значению измеренной величины:

. (1.5)

Относительную ошибку можно выразить в процентах как

.

1.3 Систематические ошибки прямых измерений

Рассмотрим подробнее природу и способы устранения систематических ошибок. Их можно разделить на 3 группы.

1. Ошибки, природа которых нам известна. Их величина может быть определена достаточно точно. Такие ошибки устраняются введением соответствующих поправок. В качестве примера такой ошибки приведем взвешивание на чашечных весах. Согласно закону Архимеда, измеренный в воздухе вес тела отличается от его истинного веса на вес воздуха, равного объему этого тела. Для того чтобы получить правильный вес необходимо после взвешивания ввести соответствующую поправку на «потерю веса» измеряемого тела. Если этого не делать, то результат взвешивания будет включать систематическую ошибку. Поправку на потерю веса тела в воздухе можно вычислить. Для этого нужно знать плотность воздуха и объем измеряемого тела. Эти величины известны с достаточной степенью точности.

2. Ошибки известного происхождения, но неизвестной величины. Сюда входит, например, погрешность измерительных приборов (иногда систематические ошибки в целом называют «приборными», что не очень корректно).

Допустим, что мы измеряем длину с помощью измерительной металлической рулетки, у которой длина ленты l_ср увеличилась из-за высокой температуры в помещении. Пусть удлинение всей ленты равно Δl. Каждый сантиметр рулетки оказался удлиненным на величину ∙100%, что приводит к соответствующей погрешности измерений. Максимальные погрешности, даваемые измерительными линейками, рулетками, микрометрами и некоторыми другими приборами, иногда наносятся на самом приборе, а иногда указываются в прилагаемом паспорте.

3. Третий тип систематических ошибок самый опасный – это ошибки, о существовании которых мы не подозреваем. Например, мы хотим измерить плотность металла и для этого определяем объём и вес образца. Если измеряемый образец содержит внутри пустоты, то мы получим грубую ошибку. При ответственных и сложных измерениях нужно очень тщательно продумывать их методику, чтобы максимально избежать ошибок указанного рода. Один из наиболее надежных способов убедиться в отсутствии таких ошибок – это провести измерения совершенно другим методом и в других условиях. Совпадение результатов служит достаточной, хотя и не абсолютной, гарантией правильности измерений.

Иногда указывают и на четвертую группу систематических ошибок, связанную со свойствами измеряемого объекта. Например, при измерении диаметра цилиндра мы можем получить ошибку, если сечение цилиндра не круг, а овал. Но такого рода ошибки мы всегда можем перевести в случайные, проведя измерения несколько раз в разных точках цилиндра. Подобный перевод систематических ошибок в случайные называется рандомизацией.