2.2. Метод хорд

Задача. Отыскать корень уравнения с точностью . Пусть имеем отрезок [a₀, b₀], на концах которого меняет свой знак, где - монотонная функция. Пусть .

На рис. 3 задача отыскания корня методом хорд представлена графически. Любая точка отрезка [a₀, b₀] может быть первым приближением корня. Соединим точки А и В прямой, т.е. проведем хорду. Таким образом, получим b₁, которое является приближением корня.

Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку B(b₀, F(b₀)).

y–y₀=k(x–x₀), y–F(b₀)=k(x–b₀).

Хорда должна проходить через точку A(a_0, F(a₀)), т.е.

.

Запишем уравнение прямой

.

Рис. 2

Рис. 3

Проведенная прямая пересекает ось ох

.

Найдем х при у=0

.

Далее, сравнивая знаки F(b₁) и F(b₀), найдем новый отрезок [b₁, a₀]. Соединим новой хордой точки А и В₁, таким образом найдем новое приближение корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F(b_i) не станет по модулю меньше числа : . При решении этим методом потерять корень невозможно.

Рабочая формула метода хорд:

,

где b – начало отрезка, а – конец ( точка а неподвижна).

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной .

Блок–схема алгоритма метода хорд представлена на рис. 4, где [a, b] – отрезок, в котором находится корень уравнения; b – корень уравнения; n – число итераций; F(b_i) – значения функции в соответствующей точке.

2.3. Метод Ньютона (метод касательных)

Как и ранее, находим корень . Имеем точность и

отрезок [a, b], в котором находится изолированный корень. В

качестве начального приближения принимается тот конец отрезка [a, b], для которого выполняется условие . Обратимся к рис. 5, на котором представлено графическое решение задачи. Из точки А₀ проведена касательная к функции. Точка пересечения касательной с осью ох является первым приближением корня, на рис. 5 она обозначена как а₁. Затем из точки а₁ проводим прямую, перпендикулярно оси ох. Точку пересечения этой прямой с функцией обозначим через А₁ и т.д.

Рис. 4

Запишем уравнение прямой, касательной к :

y-y₀=k(x-x₀), y=0 ,

где

Рис. 5

Рис. 6

Рабочая формула метода касательных:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не станет меньше заданного числа : . При работе с этим методом возможна потеря корня, но при правильном применении метода он сходится быстро, 4-5 итераций дают погрешность 10^-5, он используется также для уточнения значения корня [5]. Блок-схема алгоритма метода касательных представлена на рис. 6, где a_n – корень уравнения; n – число итераций; F(a_n) - значение функции в соответствующей точке.

2.4. Комбинированный метод хорд и касательных

Задача. Найти корень уравнения с заданной точностью .

В этом случае используется одновременно методы касательных и хорд. Приближение к корню происходит с двух сторон. Рассмотрим четыре случая, которые отвечают возможным комбинациям знаков и .

Из графиков, представленных на рис. 7, метод хорд применяется со стороны вогнутости, а метод касательных – со стороны выпуклости графика.

Совместное применение обоих методов дает сразу избыточное и недостаточное приближение. Применяя этот метод, мы предполагаем, что , и непрерывны на отрезке [a₀, b₀], причем и сохраняют свой знак. Известно, что сохранение знака у говорит о монотонности , а сохранение знака у означает, что выпуклость кривой при всех обращена в одну сторону. Для удобства расчета обозначим через а₀ тот конец отрезка [a₀, b₀], в котором знаки и совпадают.

Из возможных случаев рассмотрим случай первый. Пусть и , т.е. знаки первой и второй производной совпадают. При решении уравнения каждая итерация заключается в следующем: из точки А проведем хорду, которая стягивает дугу АВ, и проведем касательную к дуге таким образом, чтобы точка пересечения касательной с осью ох оказалось внутри отрезка [a₀, b₀]. Хорда на графиках пересекает ось ох в точке b₁,

Рис. 7

лежащей между точками b₀ и искомым корнем , а касательная к дуге в точке А пересекает ось ох в точке а₀, лежащей между точками а₀ и искомым корнем уравнения ( рис. 8).

Полученное значение a₁ и b₁ дают новое приближение к корню. Приведем расчетные формулы для a_i+1и b_i+1, выведенные в п.2.1 и 2.2.

.

Процесс нахождения a_i+1 и b_i+1 продолжается до тех пор, пока выполняется одно из следующих условий:

, где - заданная точность;

;

.

Рис. 8

Все округления при вычислениях следует производить в сторону от корня [4]. На рис. 9 представлена блок-схема комбинированного метода хорд и касательных, где n число итераций; а_n , b _n− значения приближения корня; F(а_n) F(b _n) − значения функции в данных точках.