4. Условия сходимости и элементарные преобразования матрицы

Теорема. Если для приведенной системы (3) выполнено, по меньшей мере, одно из условий:

или ,

то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Следствие. Для системы

, (i = 1, 2, ..., n),

метод итерации сходится, если выполнены неравенства:

, (i = 1, 2, ..., n),

т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

– транспонирование, т.е. замена каждой строки столбцом с тем же номером;

– перестановка двух строк или двух столбцов;

– умножение всех элементов строки или столбца на любое число c, отличное от нуля;

–прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

5. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений)

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных x₁, х₂, ...,

х_i-_l [2, 5].

В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (3), чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4). Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (3). Выберем произвольно начальные приближения корней: х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, х₃⁽⁰⁾, стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое приближение можно принять столбец свободных членов, т.е. х⁽⁰⁾ = 

(т.е. x₁⁽⁰⁾=₁, x₂⁽⁰⁾=₂, x₃⁽⁰⁾=₃). Найдем первое приближение х⁽¹⁾ по формулам:

Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х₁^(l) сразу же используется во втором уравнении, а значения х₁⁽¹⁾, х₂⁽¹⁾– в третьем уравнении и т.д. То есть все найденные значения х₁⁽¹⁾подставляются в уравнения для нахождения х_i₊₁⁽¹⁾ [6, 8].

Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:

Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие формулы:

Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.

Зададим определенную точность решения , по достижении которой итерационный процесс завершается, т.е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений: где i=1,2,3,…,n.

Пример №2. Методом Зейделя решить систему с точностью  = 10^-3: