Контрольные вопросы

1. Можно ли при аппроксимации полиномом таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции через все точки?

2. Какая мера близости (отклонения) используется в методе наименьших квадратов?

3. Какие меры близости двух функций Вам известны?

4. Можно ли с помощью метода наименьших квадратов найти параметры неполиноминальной аппроксимирующей функции?

5. Какая мера близости используется в методе средних?

6. В каком случае система нормальных уравнений получается линейной относительно искомых коэффициентов?

7. Можно ли обеспечить требование, чтобы аппроксимирующая функция практически точно проходила через отдельные выбранные точки?

8. Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?

9. Может ли быть степень аппроксимирующего полинома больше числа узлов интерполяции?

10.Назовите этапы, которые нужно пройти, при создании эмпирической формулы

Библиографический список

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 c.

2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 848 с.

3. Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990. – 208 с.

4. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: учебное пособие.– М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.

5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – 5-е изд. – СПб.: Лань, 2006. – 664 с.

6. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – 2-е изд. – СПб.: Лань, 2008. – 367 с.

7. Кузнецова Л.Г. Прикладная математика: учебное пособие. – Омск, 2002.

8. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике: учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1994.– 416 с.

9. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1998. – 383 с.

10. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Лань, 2008. – 367 с.

11. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Изд-во «Наука», 1967. – 368 с.

Приложение Общая характеристика методов решения систем линейных алгебраических уравнений

Все системы линейных уравнений подразделяются на несколько групп:

• система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной;

• система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной;

• система, имеющая единственное решение, называется определенной;

• система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Поэтому прежде чем переходить к решению системы, мы должны определить, к какому виду относится система.

Таким образом, решить систему - это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения (множество решений).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример № 1. Данная система

имеет единственное решение (3/2; − 1/8) и, следовательно, она является совместной и определенной.

Пример № 2. Данная система, состоящая из одного уравнения

,

является совместной, но неопределенной. Так как положив, например, x₁ = c₁, х₂ = с₂, где c₁ и с₂ − произвольные числа, из данного уравнения находим, что х₃ = 4 − 2c₁ + 3с₂. Таким образом, множество решений данной системы бесконечно и имеет вид: {(с₁; с₂; 4−2с₁ +3с₂) | с_1, с₂ R}.

Пример № 3. Данная система

является несовместной, так как не имеет решения.

В качестве критерия для определения совместности системы, нужно использовать теорему Кронекера-Капелли.

Теорема 1. Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы (т.е. если , то система несовместна).

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю. Ранг матрицы будем обозначать r.

Необходимы также следующие теоремы:

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (т.е. ).

Теорема 3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно (т.е. ).