2. Линейная функция

Пусть требуется найти приближающую функцию в виде линейной:

F(x,a,b) = ax+b.

Так как её частные производные по параметрам a и b: то система (2) примет вид:

После несложных преобразований её можно привести к виду:

(2а)

Решив систему, получим значения параметров a и b, следовательно, и конкретный вид приближающей функции F(x,a,b) = ax+b.

Пример № 1. Найти аппроксимирующую функцию в виде линейного полинома F(x,a,b) = ax+b.

x	-26	-22	-16	-11	-5	3	10	25	42
y	66,7	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

Составим систему уравнений, точнее, воспользуемся системой (2а). Используя имеющиеся данные, получим n = 9; ∑x_i = 0; ∑y_i= =811,3; ∑y_i x _i = 3534,8; ∑x²_i = 4060. Решим систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b, получим а = 0,87; b = 90,1.

Аппроксимирующая функция имеет вид F(x,a,b) = 0,87x+90,1.

2. Квадратичная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде квадратичной:

F(x,a,b,c) = ax²+bx+c.

Так как её частные производные по параметрам a, b и c соответственно равны:

то система (2) примет вид:

Решив систему, получим значения параметров a, b и с, следовательно, и конкретный вид аппроксимирующей функции F(x,a,b,c)=ax²+bx+c.

4. Степенная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде степенной:

F(x,a,m) = ax^m. (3)

При условии, что a>0 и в заданной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (3):

lnF = lna+mlnx.

Введем следующие обозначения u = lnx; A= m; B= lna, тогда lnF будет функцией от u: Ф(u,A,B) = Au+B. Таким образом, нахождение параметров степенной функции мы свели к нахождению параметров линейной функции. Поэтому дальнейшее решение поставленной задачи будет аналогично первому случаю.

Так как частные производные функции Ф(u,A,B) по параметрам А, В: то система (2) примет вид:

Решив систему, получим значения параметров А, В линейной функции Ф(u,A,B). Сделав обратную замену: a = e^B , m = A, получим требуемые параметры степенной функции F(x,a,m )= ax^m.

Пример № 2. Имеем функцию, заданную таблично.

x	2,3	1,56	1,3	1	0,69	0,47	0,38	0,28	0,25	0,19
y	0,16	0,22	0,28	0,34	0,5	0,81	1,06	1,38	1,81	2,66

Представим функцию графически, чтобы выбрать вид зависимости (рис.1).

Рис. 1

Найдем аппроксимирующую функцию в виде степенной:

F(x,a,m )= ax^m

Введем следующие обозначения u= lnx; A = m; B = lna, тогда lnF будет функцией от u : Ф(u,A,B) = Au+B.

Решив систему уравнений, мы найдем коэффициенты A, B:

Откуда А =  0,88, В = 0,49.Сделав обратную замену a = e^B , m = A, получим: m = 0,88, a = 1,63. Тогда искомая функция примет вид: F(x,a,m)=1,63x^-0.88.