Лекция 13. Дискретное программирование.

 

Постановка задачи дискретного программирования. Многие задачи системного анализа, такие как распределение ресурсов, задачи сетевого планирования и управления, календарного планирования, описываются математическими моделями дискретного программирования.

Рассмотрим общую задачу максимизации.

Найти                       

при условиях

                        (13.12)

где D - некоторое множество R⁽ⁿ⁾

Если множество D является конечным или счетным, то условие (13.12) - это условие дискретности, и данная задача является задачей дискретного программирования (ЗДП). Чаще всего условие дискретности разделено по отдельным переменным следующим образом:

где D - конечное (или счетное) множество.

Если вводится ограничение х_; - целые числа (j=l,2,..., n), то приходят к задачам целочисленного программирования (ЦП), которое является частным случаем дискретного программирования.

В задачах дискретного программирования область допустимых решений является невыпуклой и несвязной. Поэтому отыскание решения таких задач сопряжено со значительными трудностями. В частности, невозможно применение стандартных приемов, используемых при замене дискретной задачи ее непрерывным аналогом, состоящих в дальнейшем округлении найденного решения до ближайшего целочисленного. Например, рассмотрим следующую ЗЛП:

найти max (x₁-3x₂ +3х₃) при условиях

где х₁, х_2, х₃ ≥ 0, x_j - целые числа (j = 1,2, 3). Игнорируя условие целочисленности, находим оптимальный план симплекс-методом:

x_1опт=1/2,   x₂⁼0,…,x_2опт= .

Проверка показывает, что никакое округление компонент этого плана не дает допустимого решения, удовлетворяющего ограничениям этой задачи. Искомое целочисленное решение задачи x_1пт =2, x_2опт=0, x_3опт=5.

Таким образом, для решения задачи дискретного программирования (ЗДП) необходимы специальные методы. Методы решения ЗДП по принципу подхода к проблеме делят на три группы: 1) методы отсечения или отсекающих плоскостей; 2) метод ветвей и границ; 3) методы случайного поиска и эвристические методы.

Математические модели задач дискретного программирования. По структуре математической модели задачи дискретного программирования разделяют на следующие классы:

1) задачи с неделимостями;

2) экстремальные комбинаторные задачи;

3) задачи на несвязных и на невыпуклых плоскостях;

4) задачи с разрывными целевыми функциями.

Рассмотрим существо некоторых из них.

Задачи с неделимостями. Математические модели задач с неделимостями основаны на требовании  целочисленности переменных {x_i}, вытекающем из физических условий практических задач.

К таким задачам относится задача об определении оптимальной структуры производственной программы, где {х_1, х₂,..., х_п} - объемы выпуска продукции.

Эта задача заключается в отыскании

                        (13.13)

при

    (13.14)

                (13.15)

Если J =N = (1,2,..., n), то задача называется полностью целочисленной, в противном случае, если J≠N  - частично целочисленной.

Задача о ранце. Одной из наиболее распространенных задач целочисленного программирования является так называемая задача о ранце.

Рассмотрим постановку данной задачи. Турист готовится к длительному переходу в горах. В рюкзаке он может нести груз, масса которого не более W. Этот груз может включать в себя п видов предметов, каждый предмет типа j, массой w_j ,j= 1,2,..., n. Для каждого вида предмета турист определяет его ценность E_j  во время перехода. Задача заключается в определении количества предметов каждого типа, которые он должен положить в рюкзак, чтобы суммарная ценность снаряжения была максимальной.

Обозначим через х_j количество предметов j-го типа в рюкзаке.

Тогда математическая модель задачи такова:

               (13.16)

при ограничениях

 x_j -целое, i= 1,2,..., т.        (13.17)

Экстремальные комбинаторные задачи. В данных задачах необходимо найти экстремум некоторой целевой функции, заданной на конечном множестве, элементами которого служат перестановки из nсимволов (объектов).

Одной из наиболее простых задач этого класса является задача о назначениях: найти такую перестановку (р₁,р₂,..., р_n) из чисел 1,2,3,...,n,

при которой обеспечен    по всем перестановкам (р₁,р₂,..., р_n). Каждая такая перестановка может быть представлена точкой в п²- мерном евклидовом пространстве или в виде матрицы Х^п

Вводим переменные:

Х_ij = 1, если i-и механизм предназначен для j-й работы; х_ij = 0 — в противном случае.

Очевидно, что должно выполняться условие

 (13.18)

Данные ограничения означают, что один механизм может быть предназначен для выполнения только одной работы. Тогда задача будет состоять в определении таких чисел {х_ij}, при которых достигается минимум функционала min   при ограничениях (13.18).

Задача о коммивояжере. Имеется (n + 1) город. Задана матрица

С = ||c_ij || расстояний между городами. Выезжая из исходного города A_ij , коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в город А_ij. Требуется определить, в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было минимально.

Введем переменные:

X_ij — 1, если коммивояжер переезжает из населенного пункта А, в А_j; х_ij - 0 - в противном случае.

Математическая модель задачи имеет следующий вид: найти

                                          (13.19)

при условиях

;                               (13.20)

;                               (13.21)

,   (13.22)

 

где u_i, u_j - произвольные целые и неотрицательные числа.

Условие (13.20) означает, что коммивояжер выезжает из каждого города один раз, а условие (13.21)- что он въезжает один раз в каждый город.

Если ограничить задачу только условиями (13.20) и (13.21), она будет эквивалентна задаче о назначениях, план которой не обязан быть цикличным. Иначе говоря, путь коммивояжера при этом можно представить как рад несвязанных подциклов, в то время как его путь в действительности состоит из одного цикла.

Покажем, что для любого цикла, начинающегося в A_ij можно найти u_i удовлетворяющие условию (13.22). Пусть u_i =p, если коммивояжер посещает город А_i на р-м этапе. Отсюда следует, что

u_i- и_j ≤ п - 1 для всех i и j, и, таким образом, условие (13.22) выполняется при x_ij = 0.

При х_ij = 1 условие (13.22) выполняется как строгое равенство:

u_i-u_j+nx_ij=p-(p+1)+n = n-1.

 

Метод ветвей и границ для задачи целочисленного программирования.

Рассмотрим частично целочисленную задачу ЛП:

минимизировать

                                (13.23)

при условиях

;                 (13.24)

;                  (13.25)

- целые числа.                                 (13.26)

Процесс поиска оптимального решения начинают с решения непрерывной задачи ЛП. Если полученный при этом оптимальный план  не удовлетворяет условию (13.26), то значение целевой функции   дает нижнюю оценку для искомого решения, т.е. .

Пусть некоторая переменная х_i0 (1≤ i₀ ≤ т) не получила в плане   целочисленного решения. В целочисленном плане значение х_i0 следует либо уменьшить, по крайней мере до [х_i0], либо увеличить, по крайней мере до [х_i0]+ 1.

Если границы изменения х_i0 заранее не заданы, то их можно вычислить, решив для этого две вспомогательные задачи ЛП. Эти задачи состоят в максимизации и минимизации х_i0  при условиях (13.24) и (13,25).

Теперь для каждого фиксированного целочисленного значения х_i0 в найденном отрезке [х_i0min, х_i0max] находят min z, решая задачу ЛП с ограничениями (13.24), (13.25) и с дополнительным ограничениемх_i0≤k_i0..

Таким образом, все указанные выше возможности можно представить в виде некоторого дерева, в котором вершина 0 отвечает плану  , а каждая из соединенных с ней вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи: минимизировать z при условиях (13.24), (13.25) и дополнительном условии, что переменной х_i0 дано значение х_i0 ≤ к_i0, где к_io - целое число. Каждой из таких вершин приписывают оценку , которая равна min z при указанных выше ограничениях. Очевидно,  , для всех k.

Если оптимальные планы полученных задач удовлетворяют условиям целочисленности, то план с минимальной оценкой   и будет оптимальным планом исходной задачи. В противном случае возникает необходимость в продолжении ветвления. При этом каждый раз для очередного ветвления выбирают вершину с наименьшей оценкой.

Любой маршрут в дереве от начальной вершины 0 до некоторой вершины определяет допустимую последовательность выбора целочисленных решений для переменных. Процесс продолжают до тех пор, пока продолжение ветвления становится невозможным.

Каждая конечная вершина отвечает некоторому допустимому целочисленному плану. Вершина с минимальной оценкой дает оптимальный план.

Рассмотрим алгоритм решения задачи целочисленного программирования.

На первом этапе необходимо задать множество G⁽⁰⁾, определяемое условиями (13,24), (13.25).

На втором этапе формируются множества   задаваемые условиями (13.24), (13.25) и дополнительным условием

x_j≤[x_j0] или x_j≥[ x_j0] +1                                                                       (13.27)

где [x_j0] - целая часть х_j0.

На третьем этапе осуществляется вычисление оценок. Для множества G⁽⁰⁾ оценку   определяют как  =f( ), где   -  оптимальный план непрерывной задачи ЛП.  Для множества  оценку  определяют аналогично:

где  -оптимальный план задачи с условиями (13.24), (13.25) и с дополнительным условием (13.27).

Если множество   оказывается пустым, ему приписывают оценку  = ∞.

На четвертом этапе осуществляется нахождение планов. Если план   удовлетворяет условию целочисленности (13.26),   -оптимальный план задачи. Если  удовлетворяет условию целочисленности (13.26), он является оптимальным планом задачи с условиями (13.24), (13.25), (13.27) и некоторым планом исходной задачи (13.23) - (13.26).

На пятом этапе выполняют ветвление. Ветвление производят в том случае, когда план   не удовлетворяет условию целочисленности (13.26).

Пусть   - одна из нецелочисленных компонент плана, где 1 ≤ρ≤n₁, тогда   множество      разбивают   на   два   подмножества:

.причем

;                       (13.28)

                       (13.29)

Укажем некоторые особенности метода ветвей и границ для задач ЦП.

1. Если все коэффициенты с_j целевой функции - целые при 1 ≤j≤n_i и равны нулю при j > n_i, то оценку   МОЖНО заменить на более сильную оценку  , где ]а[ обозначено наименьшее целое, но не меньшее, чем а, т.е. округленное до ближайшего целого с избытком. 

2.  Алгоритм метода в вычислительном отношении представляет собой последовательность задач ЛП, причем конечность алгоритма следует из предполагаемой ограниченности множества G.

3. Из описания -алгоритма следует, что в применении метода ветвей и границ для полностью целочисленных и для частично .целочисленных задач нет никакой разницы.

Геометрически этот метод можно интерпретировать таким образом. Гиперплоскость, определяемая функцией задачи, вдавливается внутрь многогранника планов соответствующей задачи ЛП до встречи с ближайшей целочисленной точкой этого многогранника.

 

■ Пример 1 применения метода ветвей и границ для решения задач дискретного программирования.

Возьмем задачу

Максимизировать 3x₁+3x₂ +13x₃                                                                                   (13.30)   

При ограничениях -3 x₁+6 x₂+7 x₃≤8;                                              (13.31)

                                 6 x₁-3 x₂ +7 x₃≤8;                                                (13.32)

где каждая переменная x_j должна быть неотрицательным целым. Предположим, что заданы границы на каждую переменную:

0≤x_j≤5, j=1,2,3.

Как принято, обозначим x₀^t значение целевой функции.

На итерации 1 примем нижнюю границу x₀¹ , поскольку при всех x_j=0 имеем допустимое решение. Основой список содержит лишь одну задачу линейного программирования (13.30 ) (13.31) и (13.32) , которую назовем задачей 1. Выберем эту задачу на шаге 1 и найдем ее оптимальное решение на шаге 2:

x₀=16, x₁=x₂= , x₃=0.

Поскольку решение не является целочисленным, перейдем от шага 3 к шагу 4 и выберем x₁. Внесем далее в основной список

Задачу 2: ограничения          (13.33)

3≤x₁≤5; 0≤x₂≤5; 0≤x₃≤5;

Задачу 3: ограничения (13.34)

0≤x₁≤2; 0≤x₂≤5; 0≤x₃≤5;

Допустимое решение задачи 2 отсутствует. Поэтому выберем x₀²= x₀³=0 и вернемся к шагу 1. выберем теперь задачу 3 и получим на шаге 2 оптимальное решение

x₀= , x₁=x₂=2, x₃= , не являющееся целочисленным. Дальнейший ход решения задачи показан на рис. 13.1.

Рис. 13.1

Решением задачи является оптимальный план x₁=x₂=0, x₃=1, значение целевой функции f(x)=13.