Лабораторная работа №7 Двухфакторный дисперсионный анализ

В двухфакторном анализе факторы A и B считаются взаимодействующими, если эффект фактора A зависит от уровня фактора B. В двухфакторном эксперименте с одинаковым количеством реплик в каждой ячейке полная вариация SST подразделяется на сумму квадратов, соответствующую фактору A (SSA) и фактору B (SSB), сумму квадратов, учитывающую взаимодействие факторов A и B (SSAB), и сумму квадратов, возникающую вследствие случайной ошибки (SSE). Полная сумма квадратов представляет собой полную вариацию всех наблюдений вокруг общего среднего.

В двухфакторном дисперсионном анализе применяются три разных критерия: для проверки гипотез об отсутствии эффектов фактора A , фактора B , а также их взаимодействия.

Для проверки отсутствия эффекта фактора A выдвигаются нулевая и альтернативная гипотезы:

H₀ : ₁ = ₂ = … = _r и H₁: не все _i равны.

и применяется F-статистика, вычисленная по формуле

(1)

При заданном уровне значимости  нулевая гипотеза отклоняется, если F > F_{U ,} где F_U – верхнее критическое значение F-распределения, имеющего r-1 степеней свободы в числителе и rc(n-1) степеней свободы в знаменателе, где

r – .количество уровней фактора A; c – количество уровней фактора B; n – количество значений, соответствующих конкретным уровням факторов A и B.

Для проверки гипотезы H₀ об отсутствии эффекта фактора B и альтернативной гипотезы H₁

H₀ : ₁ = ₂ = … = _с и H₁: не все _j равны

применяется F-статистика, вычисленная по формуле

(2)

При заданном уровне значимости  нулевая гипотеза отклоняется, если F > F_{U ,} где F_U – верхнее критическое значение F-распределения, имеющего c-1 степеней свободы в числителе и rc(n-1) степеней свободы в знаменателе.

Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта взаимодействия факторов A и B

H₀: взаимодействие факторов A и B равно нулю

и альтернативной гипотезы

H₁: взаимодействие факторов A и B не равно нулю

применяется F-статистика, вычисленная по формуле

(3)

При заданном уровне значимости  нулевая гипотеза отклоняется, если F > F_{U ,} где F_U – верхнее критическое значение F-распределения, имеющего (r-1)(c-1) степеней свободы в числителе и rc(n-1) степеней свободы в знаменателе.

Задача 1. Парашюты изготавливаются из синтетических волокон, поставляемых четырьмя разными поставщиками и на двух видах станков Jetta и Turk. Совершенно очевидно, что одной из основных характеристик является прочность парашюта. Необходимо сравнить поставщиков синтетических волокон и оценить, на каком из станков Jetta или Turk выпускаются более прочные парашюты. Кроме того, необходимо определить, зависит ли разница между четырьмя поставщиками от типа станков, на которых производятся парашюты.

Данные измерений прочности парашютов можно представить на рабочем листе Excel в виде таблицы с двумя входами (r=2;c=4; n=5):

	A	B	C	D	E
3	Тип станка	Поставщик
4		П1	П2	П3	П4
5	Jetta	20,6	22,6	27,7	21,5
6		18	24,6	18,6	20
7		19	19,6	20,8	21,1
8		21,3	23,8	25,1	23,9
9		13,2	27,1	17,7	16
10	Turk	18,5	26,3	20,6	25,4
11		24	25,3	25,2	19,9
12		17,2	24	20,8	22,6
13		19,9	21,2	24,7	17,5
14		18	24,5	22,9	20,4

Рис.1. Исходные данные .

Двухфакторный дисперсионный анализ в Excel осуществляется с помощью надстройки Пакет анализа следующим образом. Необходимо выполнить такую последовательность действий.

• Выбрать команду Сервис – Анализ данных

• В диалоговом окне Анализ данных выбрать команду Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями в списке Инструменты анализа и щелкнуть ОК.

• В диалоговом окне Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями заполнить поля :

• Входной интервал (диапазон ячеек, содержащий исходные данные),

• Число строк для выборки,

• Альфа (уровень значимости ),

• Параметры вывода, установив переключатель в положение Новый рабочий лист и ввести название нового листа либо в положении переключателя Выходной интервал ввести адрес ячейки, с которой должна начаться выдача результатов.

• Щелкнуть на кнопке ОК

Для нашей задачи :

Рис.2. Диалоговое окно

Результаты двухфакторного дисперсионного анализа данных задачи 4.4 имеют вид, представленный на рис.3. Здесь представлены в столбце Итоги объем выборки, сумма, среднее и дисперсия каждой комбинации типа станка и поставщика. В первых двух таблицах приведены результаты дисперсионного анализа для всех типов станков, а в третьей – для каждого поставщика. Кроме того, в сводной таблице дисперсионного анализа идентификатор df обозначает количество степеней свободы, SS – суммы квадратов, MS –выборочные дисперсии, а F – вычисленное значение F-статистики.

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
ИТОГИ	П1	П2	П3	П4	Итого
Jetta
Счет	5	5	5	5	20
Сумма	92,1	117,7	109,9	102,5	422,2
Среднее	18,42	23,54	21,98	20,5	21,11
Дисперсия	10,202	7,568	18,397	8,355	13,1283158
Turk
Счет	5	5	5	5	20
Сумма	97,6	121,3	114,2	105,8	438,9
Среднее	19,52	24,26	22,84	21,16	21,945
Дисперсия	7,237	3,683	4,553	8,903	8,46260526
Итого
Счет	10	10	10	10
Сумма	189,7	239	224,1	208,3
Среднее	18,97	23,9	22,41	20,83
Дисперсия	8,086778	5,14444	10,40544	7,791222
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	p-значение	F критическое
Выборка	6,97225	1	6,97225	0,809574	0,37496779	4,149097409
Столбцы	134,3488	3	44,78292	5,199909	0,00486617	2,901119588
Взаимодействие	0,28675	3	0,095583	0,011099	0,99836457	2,901119588
Внутри	275,592	32	8,61225

Рис.3. Результаты дисперсионного анализа.

Прежде всего надо проверить, существует ли взаимосвязь между типами станков (фактор A) и поставщиками (фактор B). Если эффект взаимодействия является существенным, дальнейший анализ ограничивается лишь оценкой этого эффекта. Если эффект взаимодействия незначителен, необходимо сосредоточиться на главных эффектах – потенциальных различиях между типами станков (фактор А) и поставщиками (фактор В). Нулевая гипотеза об отсутствии эффекта взаимодействия отклоняется, если вычисленное значение F-статистики больше верхнего критического значения F-распределения с тремя степенями свободы в числителе и 32 степенями свободы в знаменателе при уровне значимости 0,05: F_U = 2,9. Поскольку F= 0,011< F_U , а p-значение равно 0,998, то гипотеза H₀ не отклоняется. Следовательно, необходимо проанализировать главные эффекты.

При заданном уровне значимости, равном 0,05, в основе проверки разности между двумя станками (фактор А) лежит следующее правило: нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленное значение F-статистики больше верхнего критического значения F-распределения с одной степенью свободы в числителе и 32 степенями свободы в знаменателе: F_U = 4,15. Поскольку F = 0,81 < F_U , а p-значение равно 0,375 и больше уровня значимости, гипотеза H₀ не отклоняется. Следовательно, не достаточно оснований утверждать, что между прочностью парашютов, произведенных на разных станках, существует значимая разница.

При заданном уровне значимости, равном 0,05, в основе проверки разности между поставщиками (фактор В) лежит следующее решающее правило: нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленное значение F-статистики больше верхнего критического значения F-распределения с тремя степенями свободы в числителе и 32 степенями свободы в знаменателе: F_U = 2,92. Поскольку F = 5,2 > F_U, а p-значение равно 0,049 и меньше уровня значимости, гипотеза H₀ отклоняется. Следовательно, можно утверждать, что между прочностью парашютов, произведенных из волокон, приобретенных у разных поставщиков, существует значимая разница.

В тех случаях, когда данные представляют собой результаты эксперимента, проведенного при четко разграниченных числовых значениях или марках независимых величин, их можно представить в виде таблицы (матрицы) без повторений данных. В этом случае дисперсионный анализ выполняется с помощью надстройки Пакет анализа и ее инструмента Дисперсионный анализ без повторений.

Задача 2. При спектрографическом исследовании были проведены испытания с целью проверки влияния различных электродов (фактор А) и фотопластинок (фактор В) на признак, характеризующий интенсивность света.

Результаты испытаний представлены в таблице (на рабочем листе Excel):

	A	B	C	D	E	F
3	Электроды	Фотопластинки
4		В1	В2	В3	В4	В5
5	А1	4	18	26	38	44
6	А2	3	19	25	35	43
7	А3	6	18	24	28	39
8	А4	7	13	21	31	38

Рис.4. Исходные данные.

Выполнив действия Сервис – Анализ данных – Дисперсионный анализ без повторений, в появившемся диалоговом окне следует заполнить его поля. Для задачи 4.5 это будет выглядеть так:

Рис. 5. Заполнение диалогового окна

Нажав кнопку ОК, получим:

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
ИТОГИ	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
А1	5	130	26	254
А2	5	125	25	236
А3	5	115	23	149
А4	5	110	22	161
В1	4	20	5	3,333333
В2	4	68	17	7,333333
В3	4	96	24	4,666667
В4	4	132	33	19,33333
В5	4	164	41	8,666667
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	p-значение	F критическое
Строки	50	3	16,66667	2,5	0,109155	3,490295
Столбцы	3120	4	780	117	1,67E-09	3,259167
Погрешность	80	12	6,666667
Итого	3250	19

Рис.6. Результаты двухфакторного анализа.

Поскольку F_A =2,5 < F_U = 3,49, можно считать, что вид электродов не влияет на интенсивность света. Для фотопластинок F_B = 117 > F_u = 3,26, следовательно, вид фотопластинки существенно влияет на интенсивность света.

Индивидуальные задания к лабораторным работам №5-№8 выбираются в соответствии с вариантом по таблице, приведенной в конце ЛР №8.