§8 Частотные характеристики линейных систем

При подаче на вход линейного звена гармонического воздействия на выходе этого звена в установившемся режиме также будет получена гармоническая функция той же частоты , но отличающаяся от входной по амплитуде и по фазе (рис. 8.1)

Рисунок 8.1 Гармонические сигналы

Изменения амплитуды и фазы зависит как от свойств самого звена, так и от угловой частоты входного воздействия.

Отношение выходной величины звена (системы) к входной, выраженных в комплексной форме, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ или АФХ).

(1)

где:

= - модуль КЧХ;

- аргумент КЧХ.

17

Как видно из (1) КЧХ не зависит от времени, в этом ее принципиальное отличие от временных характеристик. Если временные характеристики определяют поведение звена в переходном процессе, то КЧХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных угловых частотах .

КЧХ полностью определяет и динамические свойства системы, подобно временным характеристикам и ДУ.

Для получения КЧХ достаточно в передаточной функции W(p) заменить комплексную переменную p на .

Зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входной величины от угловой частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

А= =А( )

АЧХ показывает, что линейный элемент или система изменяет амплитуду гармонического сигнала: амплитуда уменьшается или увеличивается в А раз при изменении частоты.

АЧХ является модулем КЧХ.

А( )=

Зависимость сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного от угловой частоты называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ):

ФЧХ показывает, что линейное звено или система изменяет фазу гармонического сигнала: сдвиг по фазе увеличивается или уменьшается на градусов (или радиан).

ФЧХ является аргументом КЧХ.

=argW( )

Частотные характеристики линейного звена (системы) зависят только от свойств этого звена и не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов.

Частотные характеристики связаны между собой соотношением:

Функция при каждом значении частоты является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в алгебраической форме:

=U( )+jV( )

где U( ) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

V( ) – мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Годограф вектора при изменении частоты от 0 до называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Ее строят на комплексной плоскости. По оси абсцисс откладывают величину U( ), а по оси ординат V( ).

На рисунке 8.2 представлены типовые КЧХ, АЧХ и ФЧХ системы:

Между частотными характеристиками имеются следующие очевидные соотношения:

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

- Показатель колебательности , характеризует склонность системы к колебаниям; чем выше М, тем менее качественна система; в реальных системах 1,1 1,5;

- Резонансная частота - частота, при которой АЧХ имеет максимум, на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление;

18

ω

ω=∞

ω=0

W(ω₁)

φ(ω₁)

V(ω₁)

A(ω₁)

U(ω)

jV(ω)

A(ω)

A_max

A(0)=1

0,707A(0)

ω_р

ω_ср

ω₀

ω

АЧХ

ФЧХ

ω

φ(ω)

Рис. 8.2 Частотные характеристики системы

- Полоса пропускания системы – это интервал от =0 до , при котором выполняется условие:

;

- Частота среза - частота, при которой АЧХ системы принимает значения, равные А(0), т.е. =А(0). (На рисунке 8.2 условно принято, что А(0)=1)

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса:

Чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.