
Лабораторная работа №3
Исследование переходных процессов в цепях второго порядка
Цель работы: экспериментальное исследование переходных процессов RLC-цепи при подключении к генератору прямоугольных видео- и радиоимпульсов.
Краткие сведения
Если RLC-цепь (рис. 3.1) , не имеющая начального запаса энергии электрического и магнитного полей, подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t > 0 справедливо уравнение
имеющее
решение для тока
Рис. 3.1
Свободная
составляющая
где
и
корни
характеристического уравнения
,
Обозначив
получим
и
постоянные интегрирования, определяемые
начальными условиями в цепи;
принужденная составляющая тока,
определяемая видом ЭДС e(t)
и величинами R,
L,
C.
При подключении источника постоянного напряжения = 0, так как постоянный ток через конденсатор не течет:
Для
t
= 0
(т.
к.
).
Таким
образом,
откуда
следовательно,
В
зависимости от соотношения
и
(
резонансная
частота) возможны три случая:
а)
,
(апериодический процесс).
В плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси (рис. 3.2). Ток в цепи представляет собой сумму двух экспонент (рис. 3.3) .
Рис. 3.2 Рис. 3.3
Напряжения на элементах:
Рис. 3.4
Графики
зависимостей
от времени приведены на рис. 3.4.
б)
,
R
Q
= 0,5 (критический
режим).
=
-
в этом случае выражение для тока приводит
к неопределенности вида 0/0,
раскрывая которую по правилу Лопиталя,
получим
,
при ненулевых начальных условиях
(действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по , получаем
.
Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от времени аналогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельным условием существования в цепи апериодических процессов.
в)
,
R
< 2,
Q
> 0,5,
= -
j
(колебательный
процесс).
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (рис. 3.5).
угловая
частота свободных (собственных) колебаний.
Рис. 3.5 Рис. 3.6
При
.
Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 3.6).
Напряжение на элементах цепи:
,
,
,
где
.
Графики зависимостей от времени приведены на рис. 3.7.
Рис. 3.7
Очевидно, что чем меньше , тем медленнее затухают колебания в цепи.
Скорость
затухания колебаний оценивают величиной
декрементом затухания, где
период свободных колебаний, а также
логарифмическим декрементом затухания
.