Задача 4.2

Задана система нелинейных уравнений. Найти с точностью ε = 10^-5 все решения заданной системы уравнений на указанном интервале. Для решения задачи использовать метод Ньютона и метод градиентного спуска.

Графическая локализация корней системы уравнений:

Результаты вычислительного эксперимента

Ниже приведена таблица, в которой показано сколько итераций потребовалось для достижения заданной точности для каждого из методов:

Название метода	Первый корень (начальное приближение: x = 1, y = 1)	Второй корень (начальное приближение: x = 4, y = -1)
Метод Ньютона	7	5
Метод градиентного спуска	25	27
Комбинация методов (сначала 1 итерации градиентного спуска, затем метод Ньютона)	5 итераций по методу Ньютона	9 итераций по методу Ньютона
Комбинация методов (15 итераций градиентного спуска)	2 итерации по методу Ньютона	2 итераций по методу Ньютона

Вывод: Проанализировав полученные данные можно сделать вывод, что метод Ньютона имеет самую большую скорость сходимости, но при этом и его модификации сходятся довольно быстро. Самое большое число итераций имеет метод секущих, так как он требует более удачного второго начального приближения. В процессе выполнения возникали трудности с нахождением начального приближения при решении методом Ньютона и его модификациях, также необходимо знать, что для метода секущих требуется задать такое второе начальное приближение, чтоб ни одна из координат не совпадала с первым.

Метод градиентного спуска имеет маленькую скорость сходимости и требует в разы больше итераций, чем метод Ньютона, но при этом для него проще найти начальное приближение. Комбинация методов дала предсказуемый результат: требуется несколько итераций по методу спуска, для того чтобы убрать одну итерацию по методу Ньютона. Только для второго корня комбинация методов дала странный результат: одна итерация по методу спуска только увеличила число итераций по методу Ньютона.

Тексты программ

Метод Ньютона:

Упрощенный метод имеет аналогичный код, только объявление матрицы Якоби (A) происходит 1 раз

Метод секущих:

Метод Стеффенсена от секущих отличается лишь тем, что шаг находится как матрица B*(-1).

Метод градиентного спуска:

Численное интегрирование Задача 5.2

Задана функция . Найти значение определенного интеграла с подынтегральной функцией g(x) на заданном интервале [0.2,2.5]. Для решения задачи использовать квадратурные формулы трапеций, Симпсона, формулу 3/8, формулу Милана и формулу Гаусса с двумя, тремя и четырьмя узлами.