Результаты вычислительного эксперимента

Приведенная треугольная матрица A:

Используя встроенную функцию пакета MathCAD lsolve(), находим корни уравнения при помощи данной функции и функции и написанной мной:

Решение системы, добавляя погрешность к каждому элементу матрицы b:

На основе вычисленного вектора относительных погрешностей строим две гистограммы для указанных значений вектора погрешностей:

Оценка верхней границы теоретической погрешности:

В обоих случаях вторая компонента оказывает наибольшее влияние на погрешность решения.

Число обусловленности матрицы А.

Верхняя теоретическая погрешность превышает практическую погрешность, так как число обусловленности матрицы велико, и решение резко реагирует на небольшие внесения погрешности.

Вывод

Написав программу в пакете MathCAD, мы нашли решение исходной системы уравнений методом Гаусса, и при постройке вектора относительных погрешностей мы установили, что при внесении погрешности во второе значение столбца свободных членов приводит к самой большой вычислительной погрешности программы.

Тексты программ:

Приведение матрицы A к треугольному виду:		Распределение решения в нужном порядке
Нахождение решения методом Гаусса:

Нахождение числа обусловленности матрицы А:

Численное решение систем линейных уравнений итерационными методами Постановка задачи 3.1

Заданы матрицы A u B системы уравнений порядка n в матричной форме Ax=B. Найти решение заданной системы уравнений с точностью . Для решения задачи необходимо использовать метод Якоби, метод простой итерации с выбором параметра, метод Зейделя, метод верхней релаксации с одним и тем же начальным приближением в качестве начального приближения возьмем столбец правой части системы уравнений.

Теоретический материал

Итерационные методы применяются главным образом для решения задач большой размерности. Большие системы уравнений, возникающие в приложениях, как правило, являются разрежёнными.

Приведём алгоритм решения системы методом Якоби.

1. Привести систему:

,

,

……………………………………….

к виду с преобладающими диагональными элементами.

2. Разделить каждое уравнение на диагональный элемент.

,

(11)

……………………………………………

3. Проверить выполнение условий (12) – (14) и выбрать метрику, для которой выполняется условие сходимости итерационного процесса.

1. В пространстве с метрикой :

б) В пространстве с метрикой :

<1 (13)

в) В пространстве с метрикой :

4. Реализовать итерационный процесс (обычно за начальное приближение

берётся столбец из свободных членов).

Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении очередного (k + 1)-го приближения учитываются уже найденные на этом этапе итерации приближения к неизвестным.

Пусть система Ax = B преобразована к виду (11), пригодному для итераций

x = Bx + c , .

На (k+1)-й итерации компоненты приближения вычисляются по формулам:

Введём нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

тогда матрица B = T_Н + T_В.

Расчётные формулы метода в компактном виде:

Достаточные условия сходимости (12) –(14) являются достаточными условиями сходимости метода Зейделя.

Метод простой итерации ( B = E ) с параметром τ в канонической форме

Определим интервал, в котором может меняться параметр :

Откуда

Будем считать, что А – симметричная и положительно определённая матрица, тогда из (15) находим верхнюю границу интервала сходимости по итерационному параметру: