2.Oценка точности вероятностной экспоненциальной модели безопасности

Вероятностная модель безопасности и принятие на ее основе нормы безопасности являются наиболее распространенными и общепризнаными. Такие модели безопасности отражают вероятносную природу механизма появления отказов и процессов их устранения, однако следует отметить то, что эта модель не является безупречной.

Правомерность использования вероятностных моделей для расчета различных оценок, в том числе и оценок безопасности, может основываться только на достаточно большом обьеме статистических данных. Между тем, статистических данных по опасным отказам СЖАТ явно недостаточно для того, чтобы по этим данным построить достоверную вероятностную модель безопасности.Собрать необходимый обьем статистических данных по опасным отказам проблематично из-за самой природы этих отказов, которые появляются в системе чрезвычайно редко. Так в работе [1] приводятся статистические данные по опасным отказам в релейных СЦБ, собранные за период 1986-1990 г.г. по сети железных дорог СССР.При количестве ж.д. станций 9754 на этой сети число опасных отказов с СЦБ за пятилетний период равно 77.

В таблице 10.4. этой же работы приведены рассчитанные по этим данным показатели безопасности:

интенсивность опасных отказов на одну станцию:

_оп= ;

средняя наработка до опасного отказа на станции:

Т_с= ;

средняя наработка до опасного отказа на сети железных дорог:

Т_д= .

 вероятность безопасной работы в течение 20 лет:

P(t) =e^{-оп t} , t =365·2420 часов.

P(t) = 0,969.

Эти расчеты выполнялись для принятого предположения о экспоненциальном законе распределения случайных интервалов времени между опасными отказами. Возникает вопрос: насколько точны и надежны оценки показателей безопасности, полученные по статистическим данным токаго малого обьема в предположении о экспоненциальном законе распределения ?

Прежде всего следует отметить то, что принимая предположение о экспоненциальном распределении времени безотказной работы, существенно упрощают математические выкладки при разработке различных вероятностых моделей в теории вероятностей как « закон без памяти».

Иными словами, если еще система не отказала к моменту времени t, то распределение ее времени безотказной работы будет таким же, как если бы в этот момент времени начала использоваться совершенно новая система. Поэтому применяя этот закон, мы считаем, что интервалы времени между опасными отказами не изменятся и будут в среднем постоянными как в начале эксплуатации, так и через 5, 10, 20 лет.

Другое любопытное обстоятельство связано с дисперсией экспоненциального распределения времени между опасными отказами. Дисперсия в этом случае равна 1/ , а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию, т.е. для отдельной СЖАТ ж.дорожной станции _оп ⁼ Т_с = 5,548 10⁶ часов, что составляет более 633 лет. При таком разбросе интервалы времени между опасными отказами могут быть нулевыми, а могут равняться нескольким столетиям. В связи с этим достоверность оценок показателей безопасности СЖАТ, полученных с помощью экспоненциальной вероятстностной модели, вызывает определенные сомнения.

Вместе с этим, правомерность использования экспоненциального распределения при построении вероятностных моделей безопасности достаточно подробно обсуждается в [1]. В этой работе доказывается гипотеза о экспоненциальном распределении случайных интервалов времени между опасными отказами и делается вывод о том, что «время наработки между опасными отказами СЖАТ подчиняется экспоненциальному распределению». (стр.279). Здесь же излагается последовательность операций при оценке точности и надежности получаемых оценок безопасности,однако в этой работе не приводятся числовые значения для доверительных интервалов и доверительных вероятностей. Ниже рассматривается задача оценки точности и надежности одного из показателей безопасности в зависимости от обьема статистических данных.

Наша цель – установить точность и достоверность полученных оценок показателя безопасности (TC) в зависимости от обьема статистических данных при использовании экспоненциальной вероятностной модели безопасности СЖАТ.

Случайная величина, которую мы исследуем – это временной интервал между опасными отказами в устройствах СЖАТ отдельной станции. Будем использовать статистические данные таблицы 10.4., приведенной в работе [1] на стр. 270.По этим данным в соотвествии с принятыми допущениями в работе [1] были рассчитаны показатели _оп, T_i, P(t), эти расчеты и полученные приближенные значения этих показателей приведены выше.

Пусть Т_m - математическое ожидание случайных интервалов между опасными отказами на ж.д. станции. Т_с – это приближенная оценка Т_м, поэтому Т_м  Т_{с .}

Будем считать, что приближенное равенство Т_м  Т_с имеет точность θ и достоверность d, если вероятность неравенства

 Т_м-Т_с   θ равна d ,

т.е. P( Т_м-Т_с   θ ) = d. (1).

Необходимо выяснить, как связаны между собой точность θ, достоверность d и обьем статистических данных N. Для этого воспользуемся неравенством Чебышева [2], которые для условий нашей задачи запишется в виде:

Р (Т_с - Т_м   θ  ,

Здесь D_tc - дисперсия велчины Т_с.

Преобразуем неравенство Чебышева:

Р(Т_с - Т_м  θ) = 1- Р (Т_с - Т_м   θ ) 1 - .

Поэтому Р(Т_с - Т_м   θ )  1- .

Выразим дисперсию D_tc через среднее квадратичное отклонение  , используя известное в статистике соотношение: (х) = ,

Где Х - среднее арифметическое n случайных величин;

• -среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Получим:

Р(Т_с - Т_м  θ)  1- . (2)

Левая часть неравенства (2) - это достоверность d

D  1 - (3)

Обозначим правую часть неравенства (2) через  и определим из уравнения

 = 1 - ( 4)

параметр θ , значение которого характеризует статистической оценки величины Т_с

θ = _тс (5)

Подставим θ из (5) в уравнение (2), получим оценку достоверности:

d = Р(Т_с - Т_м  _tc   (6)

Выражение (6) интерпретируется следующим образом:

С доверительной вероятностью не меньшей  ошибка в определении математического ожидания случайных интервалов времени между опасными отказами будет не больше величины θ , определяемой уравнением (5).

Оценка ошибки:

Т_с - Т_м  _{tc .} (7)

Пусть, например, задано значение доверительной вероятности  =0,95.

В таком случае величина ошибки для N = 77 и _tc = Т_с = 5,548 10⁶ будет не больше значения ∆ :

∆ = Т_с - Т_м  _{tc ;} (8)

∆ = 5,548· 10⁶ часов .

При увеличении N на порядок:

∆= 8,94110⁵ часов .

Таким образом, точность оценок показателей безопасности СЖАТ при использовании экспоненциальной вероятностной модели безопасности пренебрежимо мало. Ошибка в оценке такого параметра как математическое ожидание интервалов времени между опасными отказами при обьеме статистических данных менее 100 имеет порядок 10⁶.

Увеличение обьема статистического материала при использовании экспоненциальной вероятностной модели безопасности не снижает существенно величину погрешности в оценке параметров безопасности, поэтому применение этой модели для вычисления показателей безопасности нецелесообразно.

3.КОНЦЕПЦИЯ ОПАСНОГО ЭЛЕМЕНТА.

Возможен другой подход в оценке безопасности СЖАТ. Сущность предлагаемого подхода состоит в том, что в анализируемой системе общий поток отказов не делится на два различных потока неопасных и опасных отказов. Все отказы элементов системы являются обычными отказами, которые приводят элемент или устройство в неисправное состояние. Интенсивность потока таких отказов, характеризует надежность элемента, сведения о интенсивности потока или другая информация о недежности обычно заносятся в технические паспорта элементов.Например, наиболее часто приводится такая характеристика надежности как средняя наработка на один отказ – Т, что соответствует интенсивности потока отказов  =1/ T.

Отвергая концепцию опасного отказа и опираясь на концепцию опасного элемента нет необходимости поток отказов с интенсивностью  делить на два разных потока – опасных и неопасных. Все отказы этого потока являются однородными, любой отказ потока пориводит элемент в неработоспособное состояние.

Однако неисправность элемента может привести систему, в состав которой входит элемент, в различные состояния.

Например, отказ одного из элементов приводит систему в неработоспособное, но неопасное защитное состояние, тогда как отказ другого элемента может привести систему в опасное состояние.

Разделение элементов СЖАТ на отдельные группы в зависимости от их влияния на состояния системы может быть выполнено путем анализа функциональных схем СЖАТ и алгоритмов функционирования системы. В результате анализа определяется какая часть элементов при отказе приводит систему в неисправное, но работоспособное состояние, какая часть элементов приводит систему в неработоспособное, но неопасное защитное состояние и , наконец, какие элементы системы при отказе приводят ее в опасное состояние.

Таким образом, все множество элементов СЖАТ М_с зависит от влияния на состояние системы можно разделить на отдельные подмножества:

М_н – подмножество элементов, отказ хотя бы одного элемента этого подмножества переводит систему в неисправное, но работоспособное состояние;

М_з - подмножество элементов, отказ хотя бы одного элемента этого подмножества системы переходит в защитное состояния.

Мо- подмножество элементов, отказ хотя бы одного элемента этого подмножества системы переходит в опасное состояния