2.Математическая модель городской транспортной сети.

Математической моделью городской транспортной сети служит граф G (N, M ) множество вершин N которого представляет собой перекрестки магистралей, а множество дуг - M транспортные магистрали города, по которым перемещаются транспортные потоки из пунктов отправления в пункты назначения. Пропускные способности магистралей в математической модели представлены параметром Ci , i =1,2...M. В N узлах дорожной сети транспортные потоки задерживаются на время ожидания в очереди перед светофором и времени проезда перекрестка.

В работе [6] была исследована математическая модель перекрестка магистралей. Процесс функционирования перекрестка в этой работе описывается моделью одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Среднее время, которое затрачивается транспортной единицей на ожидание в очереди перед светофором, может быть определено с помощью известного выражения [7]:

= i= 1,2 ... M (1)

В этой формуле - среднее время обслуживания одной транспортной единицы.

Это время включает в себя время горения красного сигнала светофора и времени проезда автомобилем перекрестка.

Потоки транспортных средств, поступающих в сеть, по предположению являются пуассоновскими со средним значением _ik транспортных единиц в час для тех транспортных единиц, которые возникают в узле j и перемещаются по сети к узлу К. Полный внешний трафик, поступающий в транспортную сеть, и после завершения транспортировки, покидающий сеть определяется как

(2)

Каждая магистраль транспортной сети рассматривается как отдельный канал обслуживания, поэтому необходимо ввести новую переменную, обозначим ее через i,

i =1,2...M, которая представляет среднее число автомобилей, следующих по i-ой магистрали в единицу времени.

Для принятых предположений и допущений модель городской транспортной сети идентична открытой сети массового обслуживания Джексона [8].

Для такой сети среднее время обслуживания заявки сетью определяется выражением:

(3)

Ti- среднее время обслуживания заявки i-м каналом сети.

В нашей модели i-м каналом обслуживания является i-ая магистраль.

Время движения по i-ой магистрали состоит из двух составляющих:

времени движения по магистрали до перекрестка;

времени ожидания зеленого сигнала перед перекрестком до начала движения по новой магистрали.

Первая составляющая определяется соотношением [7]:

(4)

Вторая составляющая уравнением (1).

В результате среднее время движения автомобиля по городской транспортной сети:

T= (5)

3.Транспортные потоки в сети с двумя видами транспорта.

Рассмотрим, как с помощью модели транспортной сети с однотипным транспортом оценить эффект использования железнодорожного транспорта в городской транспортной инфраструктуре. С этой целью для заданной матрицы пассажиропотоков между узлами сети определим эффективность функционирования двух схем городской транспортной сети.

1.В городской транспортной сети для перевозки пассажиров используется только легковой автомобильный транспорт. Каждый автомобиль может перевозить несколько пассажиров, однако по предположению будем считать, что каждый автомобиль перевозит в среднем Ка пассажиров, 1 Ка Kamax.

Где Kamax – максимальная вместимость автомобиля.

2.В городской транспортной сети кроме автомобильного транспорта используется также железнодорожный пассажирский транспорт, который обеспечивает перевозку пассажиров между отдельными узлами транспортной сети города.По предложению будем считать, что каждый поезд в среднем обеспечивает перевозку КрКрамах пассажиров, где Крамах- максимальная вместимость поезда.

Заданную матрицу пассажиропотоков между узлами транспортной сети города получают в результате статистических наблюдений и эти данные являются обьектной реальностью, на основе которой формируются транспортные потоки из автомобилей и других транспортных средств.

Используя матрицу пассажиропотоков, определим параметры транспортных потоков для упомянутых выше двух схем городской транспортной сети.Затем для найденных значений параметров вычислим значения Т – показателя эффективности функционирования транспортной сети для двух схем транспортной сети города и ,сравнивая эти значения, оценим эффект внедрения железнодорожного пассажирского транспорта в городскую инфраструктуру.

Среднее время движения автомобилей по транспортнгой сети - Т зависит от параметров транспортного потока , i и параметров, характеризующих автомобильную транспортную сеть Сi , i. Параметров Сi , i в рассматриваемых двух схемах транспортной сети- идентичны , однако параметры транспортных потоков i и  будут в этих схемах различными в зависимости от используемых во второй транспортной схеме маршрутов движения городского железнодорожного транспорта.

Величина  - это суммарный внешний трафик автомобилей, который поступает в транспортную сеть города. Этот трафик формируется из транспортных единиц потока

_jk между узлами j, k, j= 1,2...N, k=1,2... N.

Для первой транспортной схемы значение определяется очевидным соотношением , поэтому суммарный внешний трафик для этой схемы:

(6)

Для второй транспортной схемы суммарный внешний трафик формируется из двух составляющих.

Первая составляющая – это сумма внешних трафиков , формируемых также как и в первой схеме для тех узлов с индексом j, k, через которые не проходят маршруты железнодорожного пассажирского транспорта.Величина этой составляющей:

 (7)

Где N1-подмножество узлов транспортной сети, которые не обслуживаются железнодорожным транспортом.

В формуле (7) для значений j,k подмножества N1.

Вторая составляющая – это внешний трафик, формируемый между узлами, которые обслуживаются пассажирским железнодорожным транспортом. Введем новую переменную ik – коэффециент поглащения пассажиропотока.Коэффициент ik – это часть общего пассажиропотока Pjk, которая перевозится железнодорожным транспортом между узлами j, k. Если ik=1, то в таком случае весь пассажиропоток обслуживается железнодорожным транспортом, однако в действительности всегда ik1.

Поэтому вторая составляющая суммарного внешнего трафика для второй транспортной схемы определяется следующим выражением:

 ) (8)

Где N₂ - подмножество узлов транспортной сети, которые обслуживаются железнодорожным транспортом.

Параметры _i i=1,2 ... M – это средняя интенсивность транспортного топока по i –ой магистрали.

Для первой транспортной схемы среднее значение _i определяется соотношением

 (9)

Для второй схемы

 ( 10 )

4. Сравнительный анализ эффективности транспортных сетей с автомобильным и комплексным- автомобильным и городским железнодорожным транспортом.

Рассмотрим модель городской транспортной сети, представленной в модели графом, содержащем 7 узлов и 28 магистралей. Сравнительный анализ выполним для двух схем транспортной сети

.В первой схеме пассажирской железнодорожный транспорт не используется. Во второй схеме железнодорожный пассажирский транспорт связывает узлы 1,2,6,7 траспортной сети города.

Для оценки эффективности использования железнодорожного транспорта зададим исходные данные:

-G(N,M)- Граф городских автомобильных магистралей;

- N- Количество узлов сети;

- М-Количество магистралей в сети;

- - Матрица внешнего трафика;

-С- Матрица пропускных способностей магистралей;

- Р-Матрица пассажиропотоков;

--Вектор параметров светофоров;

- Ка- Коэффициент загрузки автомобилей;

- jk -Коэффициент поглощения;

- N1 -Подмножество узов сети вне железнодорожного сообщения;

- N2 -Подмножество узлов сети с железнодорожным сообщением

Матрица пассажиропотоков чел/час

Формирование внешнего трафика авто/час

Пропускные способности магистралей авто/час

Число городских магистралей

Вектор параметров светофоров - среднее время красного сигнала и проезда перекрёстка c -ой магистрали

-Коэффициент поглощения пассажиропотока

Подмножество узлов тр. сети без жел. дор. сообщения

Подмножество узлов тр. сети с жел. дор. сообщением

Зависимость средней задержки от роста трафика

для первой и второй транспортных схем

Среднее время движения по транспортной сети для первой схемы

Среднее время движения по транспортной сети для второй схемы

Выводы:

1. Для заданных исходных данных в результате сравнительного анализа получены оценки среднего времени движения транспортных единиц по двум схемам транспортной сети. Среднее время движения автомобилей по городской транспортной сети с железнодорожным сообщением значительно меньше среднего времени при движении по транспортной сети без железнодорожного транспорта. Так, это время при движении по сети без железнодорожного транспорта около 13 минут, а при движении по сети с железнодорожным транспортом менее минуты.

2. Для значения коэффициента поглощения =0.5 существенное сокращение среднего времени движения автомобилей по городской транспортной сети достигается за счёт снижения трафика автомобилей путём поглощения части пассажиропотока городским железнодорожным транспортом.

3. В транспортной сети с железнодорожным пассажирским транспортом рост трафика автомобилей приводит к относительно более высокому приросту среднего времени движения автомобилей по городской транспортной сети, т. е. производная от функции T1(1) больше производной от функции T2(2).

ЛИТЕРАТУРА

1.Авен О.И., Ловецкий С.Е. Моисеенко Г.Е.

Оптимизация транспортных потоковю М.,Наука, 1985.

2.Стенбринк П.А.

Оптимизация транспортной сети. М., Транспорт, 1981.

3.Грунтов П.С.

Расчет и анализ транспортных потоков.Гомель,Белорусский тнститут ж.д.транспорта,1982.

4.Бонеал,Мейсон,Чилсон.

Моделирование пассажиропотоков в транспортной системе. М.,Транспорт,1982.

5.Хейт Ф. Математическая теория транспортных потков. М.,Мир,1966.

6.Семенов В.В.Математическое моделирование динамики транспортных потоков мегаполиса httpi //www.isi.edu/nsnam/ns/

7.Клейнрок Л.Коммуникационные сети. М.,Наука,1970.

8.Jackon J.K. Networks of waiting lines, Op. Res.4, p. 674 – 683, 1956.

V. Lubinskis, L. Sergeyeva. Informācijas un transporta sistēmu modeļu matemātiskais izomorfizms.

Atslēgas vārdi: izomorfisms, transporta sistēmas, matemātiskie modeļi

Anotācija

Rakstā ir atzīmēta pazīmju rinda, kas nosaka informācijas un transporta sistēmu matemātiskā izomorfizma esamību.

Tiek noteikti matemātiskie līdzekļi, kurus izmanto informācijas un transporta sistēmu izstrādei. Izskatīts matemātiski izomorfisks modelis informācijas un transporta tīklu efektivitātes rādītāju novērtēšanai.

1.Ievads

Pēdējos gadus sakarā ar preču apmaiņas intensifikāciju starp dažādiem ekonomiskie rajoniem ir radusies asa nepieciešamība optimizēt transporta procesus. Ar šo nolūku tiek izstrādātas un ieviestas loģistiskās transporta sistēmas, kuras nodrošina kravu transportēšanas efektivitātes paaugstināšanu pēc laika un ekonomiskiem kritērijiem.

Loģistisko transporta sistēmu izstrādes procesā rodas dažādi transporta procesu optimizācijas uzdevumi, kuri, lielākajā gadījumu skaitā, tiek risināti izmantojot matemātiskās modelēšanas metodes. Transporta procesu modeļu izstrādes laikā ir pilnīgi dabiska pētnieku tieksme izmantot jau zināmus zinātniskos rezultātus, tai skaitā, izstrādātos un aprobētos matemātiskos modeļus.

Dotajā darbā mērķis ir – parādīt, ka par vispiemērotākiem prototipiem transporta sistēmu modeļu izstrādei var būt zināmi un aprobēti informācijas sistēmu vai to komponenšu modeļi. Mēs apgalvojam, ka informācijas un transporta sistēmu modeļi ir matemātiski izomorfiskas, t.i. lielā mērā līdzīgi un informācijas sistēmu vai to komponenšu modeļu lielākais skaits var tikt sekmīgi izmantots transporta sistēmu modeļu izstrādei.

Šādas metodes tiesiskumu var apliecināt ar sekojošiem argumentiem.

Pagājušā gadsimta otrās puses gaitā milzīga inženieru un zinātnieku armija nodarbojās ar dažādas nozīmes informācijas sistēmu izstrādi un uzlabošanu. Šis darbs veda pie tādiem izciliem cilvēka prāta sasniegumiem kā mūsdienu dators, vispasaules informācijas tīkls Internet, mūsdienu globālās sakaru sistēmas. Informācijas sistēmu vai to komponenšu optimizācija tika veikta ar attiecīgu matemātisko modeļu izstrādi. Šādi modeļi ievēroja informācijas sistēmu funkcionēšanas specifiku, un dabiski, to izmantošanas transporta sistēmu pētīšanas mērķiem ir nepieciešams:

• pārskatīt norobežojumus un pieņēmumus kas tiek pieņemti izstrādājot informācijas sistēmu modeļus;

• noteikt jaunu modeļu ieejas un izejas parametru saturu;

• iedziļināti analizēt rezultātus kas ir iegūti izmantojot modeli;

• izpildīt rūpīgu modeļu atbilstības analīzi.

Kopā ar to, iespēja izmantot informācijas sistēmu modeļus transporta sistēmu pētīšanai un uzlabošanai ir neapšaubāma, jo abas sistēmas ir funkcionāli homogēnas plūsmu sistēmas. Šo sistēmu funkcionālā homogenitāte ir tāda ka būtībā katra sistēma izpilda trīs galvenās funkcijas: savu informācijas un transporta objektu pārvietošana, uzglabāšana un apstrāde. Informācijas sistēmās šādi objekti ir teksta ziņas, datu masīvi, audio un video informācija, bet transporta sistēmās transportējamie objekti: automobīļi, konteineri, vagoni.

Kā informācijas, tā arī transporta sistēmas ir tipiskas plūsmu sistēmas. Varbūtības procesi, kuri aizriet šajās sistēmās var būt aprakstīti vienu un to pašu matemātisko līdzekļu terminos. Tāpēc mēs apgalvojam un mēģinām to pierādīt, ka ja eksistē kāds informācijas sistēmas matemātiskais modelis, tad izmantojot šo modeli, kā arī metodoloģiju un matemātiskos līdzekļus, kuri tika izmantoti tās izveidošanai, var izveidot jaunu, tai izomorfisku transporta sistēmas modeli.

2.Matemātiskā izomorfisma definīcija.

Termins “matemātiskais izomorfisms” pirmo reizi bija ieviests 19 gadsimta vidū, taču plaši izmantots šis termins tika pēc Amali Neter darbiem, vācu matemātiķa, kura 1928-1929 gados lasīja lekcijas algebrā Maskavas Universitātē. Ir zināma šā jēdziena formāla definīcija.

Izomorfisms kā matemātisko objektu īpašība tiek plāsi izmantots matemātiskajā modelēšanā. Sīkāk, matemātiskā izomorfisma pielietošana analogā modelēšanā ir balstīta uz tā, ka dažādas pēc savas fiziskās būtības sistēmas ir aprakstītas ar analoģiskiem matemātiskiem līdzekļiem, kas atļauj pētīt reālu masīvu un dārgu sistēmu ar citas vienkāršākas un nedārgas sistēmas palīdzību.

3.Informācijas un transporta sistēmu matemātisko modeļu izomorfisma objektīvie pamati.

Ir vesela rinda pazīmju, kuras atļauj apgalvot, ka informācijas un transporta sistēmu matemātiskie modeļi ir izomorfiski.

Pirmā no šādām pazīmēm ir tāda, ka abas sistēmas ir plūsmas sistēmas. Plūsmas koncepcija spēlē noteicošu lomu informācijas un transporta sistēmu izstrādē un pētīšanā. Šo sistēmu funkcionēšanas efektivitātes analīze ir saistīta ar plūsmu cirkulējošo pētāmā sistēmā precīzu noteikšanu. Informācijas sistēmā – tās ir informācijas plūsmas, transporta sistēmā – kravu un pasažieru plūsmas. Plūsmas jēdziens transporta sistēmā ir parasti saistīts ar objektiem kuri tiek transportēti pa vienu vai vairākiem kanāliem ar ierobežotu cauraildspēju. Tomēr plūsmas jēdziens informācijas un transporta sistēmu matemātiskajā modelēšanā tiek izmantots plašākā nozīmē. Tā plūsma var būt pieprasījumu uz savienošanu plūsma no telefonu tīkla abonentiem, pieprasījumu kravu pārvadāšanai, telegrammu plūsma telegrāfa tīklā, datu plūsmas globālajā sakaru tīklā un tā tālāk.

Kopējais visām plūsmām, kā informācijas tā arī transporta sistēmās ir tas, ka šo plūsmu parametri ir varbūtības lielumi, tāpēc plūsmas modeļos tiek aprakstītas kā gadījuma procesi.

Ievērojamu ieguldījumu gadījuma procesu teorijas attīstībā ienesa krievu matemātiķis Markovs A.A.(1856-1922), kurš nodarbojās ar speciālā tipa gadījuma procesu pētīšanu, kurus vēlāk nosauca par markova procesiem. Markova gadījuma procesu teorijas ietvaros tiek risināts lielākais jautājumu skaits, kuri rodas izstrādājot un pētot informācijas un transporta sistēmu modeļus. Pie tam plaši tiek izmantotas masu apkalpošanas teorijas metodes, kura radās pagājušā gadsimta sākumā kā viena varbūtības teorijas sadaļām. Masu apkalpošanas teorijas pamatā (angļu valodas literatūrā šo teoriju sauc par rindu teoriju – Queueing Theory) ir likta pieprasījumu plūsmas apkalpošanas sistēmas stāvokļu maiņas attēlošanas ideja kā markova procesu ar diskrēto vai nepārtraukto stāvokļu daudzumu.

Informācijas un transporta sistēmu modeļu izstrādāšanā lielākajā gadījumu skaitā tiek pieņemts pieņēmums par to, ka pieprasījumu plūsmas ir triviālas. Pie tam šo plūsmu skaitliskais apraksts paliek elementārs, pietiek uzdot plūsmu intensitātes lielumus .

Pieprasījumu ieejas plūsmas informācijas un transporta sistēmās nav vienmēr triviālas. Modeļu izstrāde ar ieejas plūsmām kuras atšķiras no triviālām paliek daudz grūtāka. Tāpēc praktiski jebkuras struktūras plūsmu parasti aizvieto ar vienkāršām ar tādu pašu blīvumu, un kā parāda pieredze, pie tam tiek sasniegti pēc precizitātes apmierinoši rezultāti.

Citādāk ir ar laiku un apkalpošanas disciplīnu. Pēc šiem raksturojumiem ir novērojama liela daudzveidība reālajās sistēmās, un tāpēc arī to matemātiskos aprakstos.

Apkalpošanas disciplīna ir svarīgs strukturālais raksturojums, kā informācijas, tā arī transporta sistēmām. Apkalpošanas disciplīna uzdod pieprasījumu izvēles secību no apkalpošanas rindas. Šādu secību piemēri ir apkalpošana pienākšanas secībā, apkalpošana apgrieztajā secībā, pieprasījumu gadījuma izvēle, pieprasījumu izvēle ņemot vērā to prioritāti, un t.t.

Pieprasījumu ieejas plūsmas parametri un apkalpošanas kanālu parametri ir galvenie matemātiskajos modeļos, izstrādājamos rindu teorijas līdzekļu pamatā. Tomēr modeļu izstrādāšana nav pašmērķis, modeļi tiek izstrādāti reālu sistēmu pētīšanas darbības efektivitātes vērtēšanai. Tāpēc modeļi vienmēr satur sistēmas funkcionēšanas efektivitātes rādītājus. Šie rādītāji tiek izteikti caur pētāmās sistēmas parametriem.

Izmantojamo praksē informācijas un transporta sistēmu funkcionēšanas efektivitātes rādītāju analīze liecina par to, ka šo sistēmu kvalitāte lielākajā gadījumu skaitā tiek raksturota ar laika kritērijiem, kuri nosaka operativitāti un attiecīgi informācijas un transporta plūsmu apkalpošanas ekonomisko efektivitāti. Kravu transportēšanas norīkojuma punktā bez aizkavēm - ir viena no galvenajām prasībām pret loģistiskām transporta sistēmām.

Analoģiski, ziņojumu ātra nogādāšana adresātam vai datu pieprasījumu apstrāde informācijas tīklos ir arī svarīgākie informācijas sistēmas kvalitātes raksturojumi.

Tāpēc informācijas un transporta sistēmu efektivitātes novērtēšanai tiek izmantoti tādi rādītāji kā apkalpošanas sākuma gaidīšanas laiks, pieprasījumu atrašanās laiks apkalpošanas sistēmā un t.t.

Par vēl vienu spilgtu liecinājumu gadījuma procesu identitātei kas tek informācijas un transporta sistēmās, un attiecīgu to matemātiskā apraksta izomorfisma var būt informācijas un transporta tīklu caurlaidspējas grafiki.

Atšķirīgi pēc savas fiziskās būtības šie tīkli parāda pilnu identitāti tīklu caurlaidspēju izmaiņās pieprasījumu ieejas plūsmu pieaugšanas laikā.

4.Gadījuma procesu matemātiskais apraksts informācijas un transporta sistēmās.

4.1. Markova ķēdes ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku.

Informācijas un transporta sistēmu matemātiskie modeļi tiek uzbūvēti stacionāro markova procesu pamatā.

Visbiežāk tiek izmantoti tiek izmantoti markova gadījuma procesu ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku teorijas rezultāti. Pamatojoties uz šo teoriju var izstrādāt pietiekami vienkāršus caurspīdīgus modeļus atsevišķu problemātisku jautājumu pētīšanai, kuri parādās transporta vai informācijas sistēmās. Šādus modeļu lietderīgi izmantot pat tad, ja gadījuma procesi pētāmā sistēmā nav markova procesi. Tuvināti vērtējumi, kurus iegūst ar šo modeli, bieži ir pilnībā apmierinoši praktiskiem mērķiem.

4.2. Kolmagorova vienādojumi.

Ja izskatīt informācijas vai transporta sistēmas ar galīgu stāvokļu skaitu, tad ja ir atzīmētais stāvokļu grafs S1, S2, ... Sn, var noteikta stāvokļu varbūtības P₁(t), P₂(t), ... P_n(t) kā laika funkcijas.

Ar šādu nolūku pēc stāvokļu grafa tiek sastādīti diferenciālie vienādojumi, kuru atrisināšana dod meklējamās varbūtības P₁(t), P₂(t), ... P_n(t). Piemēram, sistēmai ar stāvokļiem S1, S2, S3, S4, un noteiktiem pāreju no viena stāvokļa uz citu varbūtības blīvumiem, var iegūt vienādojumu sistēmu:

Šie vienādojumi matemātikas literatūrā sauc par Kolmogorova vienādojumiem.

Šo vienādojumu integrēšana dot meklējamo varbūtību vērtību P₁(t), P₂(t), P₃(t), P₄(t).

Kolmogorova vienādojums – ir ļoti ērts un efektīvs instruments varbūtības objektu pētīšanai, kurus apraksta ar Markova ķēdi ar nepārtrauktu laiku un diskrētu stāvokļu daudzumu. Tāpēc ļoti svarīgi pēc atzīmētā stāvokļu grafa ar pāreju varbūtību blīvumiem, kuri ir uzdoti bultu veidā, ir spēt ātri sastādīt šādus diferenciālos vienādojumus. Ar šo nolūku lietderīgi izmantot šādu noteikumu:

Katra vienādojuma kreisajā daļā ir stāvokļa varbūtības, bet labā puse satur tik locekļus, cik ir saistīti ar doto stāvokli. Ja bultiņa ir virzīta no stāvokļa, tad attiecīgajam loceklim ir mīnus zīme; ja uz stāvokli – plus zīme. Katrs labās puses loceklis ir vienāds ar pārejas varbūtības blīvuma reizinājumam, kurš attiecas uz doto bultiņu, reizināta ar šī stāvokļa varbūtību no kura virzīta bultiņa.

5.Bāzes matemātiskie līdzekļi informācijas un transporta sistēmu modeļu izstrādei.

5.1.Rindu teorijas matemātiskie līdzekļi.

Pie tādiem līdzekļiem ir jāpieskaita:

• masu apkalpošanas vienkanāla sistēmu ar atteikumiem;

• masu apkalpošanas daudzkanālu sistēmu ar atteikumiem;

• masu apkalpošanas vienkanāla sistēmu ar gaidīšanu;

• masu apkalpošanas daudzkanālu sistēmu ar gaidīšanu;

• masu apkalpošanas tīkls.

Visās bāzes shēmās notikumu plūsmas, kuras pārved sistēmu no viena stāvokļa uz citu, tiek pieņemtas par Puasona plūsmām.

5.2. Kopējais masu apkalpošanas sistēmu raksturojums.

Visbiežāk informācijas un transporta sistēmu kvantitatīvā analīze var būt izpildīta izmantojot rindu teorijas matemātiskos modeļus. Reālo sistēmu modeļu izstrādes un analīzes mērķis ir noteikt atkarības starp pieprasījumu plūsmām, apkalpošanas kanālu skaitu un ražīgumu, rindas disciplīnu un apkalpošanas sistēmas efektivitāti.

Kā apkalpošanas efektivitātes rādītājus var būt izmantoti dažādi lielumi un funkcijas, piemēram:

• pieprasījumu vidējais skaitlis, kuru sistēma var apkalpot laika vienībā;

• pieprasījumu vidējais procents, kuri ir saņēmuši atteikumu un atstāj sistēmu neapkalpoti;

• varbūtība, ka atnākušais pieprasījums tūlīt pat tiks pieņemts apkalpošanai;

• vidējais gaidīšanas laiks rindā;

• gaidīšanas laika sadales likums;

• pieprasījumu kuri atrodas rindā vidējais skaits;

• apkalpojošo kanālu noslodzes koeficients un citi.

Apkalpošanas sistēmas tiek klasificētas pēc vesela piezīmju klāsta:

Pēc apkalpošanas kanālu skaita, ir vienkanāla un daudzkanālu sistēmas, pēc pienākošo pieprasījumu pieņemšanas organizācijas iedala sistēmas ar atteikumiem un gaidīšanu, pēc rindas organizācijas izdala sistēmas ar dažādām apkalpošanas prioritāšu disciplīnām.

Analizējot apkalpošanas procesus uzdod galvenos sistēmas parametrus:

apkalpošanas kanālu skaits – n, pieprasījumu plūsmas blīvums – l, kanāla pieprasījumu apstrādes intensitāte - , nelīdztiesīgu pieprasījumu apstrādes kārtība (pieprasījumu ar dažādiem prioritātes līmeņiem).

Pašlaik masu apkalpošanas teorija, kura parādījās divdesmitā gadsimta sākumā kā vispārējās varbūtības teorijas daļa, un palika par patstāvīgu zinātnisku disciplīnu ar lielu jaunu rezultātu skaitu, kuri tika uzkrāti galveno kārt divdesmitā gadsimta otrās puses laikā. Zinātniskās sabiedrības liela interese par masu apkalpošanas teoriju izskaidrojas ar neparasti strauju datortehnikas, jaunu sakaru sistēmu un datortīklu attīstību, kuru izveidošana pieprasīja jaunu matemātisko līdzekļu izstrādi to projektēšanai, aprēķiniem un analīzei. Masu apkalpošanas sistēmu matemātiskie modeļi tika izstrādāti galvenokārt sarežģītu informācijas sistēmu komponenšu efektivitātes novērtēšanai, kuras tika izveidotas caur datortehnikas un sakaru līdzekļu sarežģīšanu. Tā pirmā liela datoru tīkla ARPANET izstrādes laikā tika plaši izmantots rindu teorijas matemātiskais aparāts. Šī tīkla izveidošanas procesā rindu teorijas bāzē tika izstrādāts daudz modeļu dažādu projekta variantu efektivitātes novērtēšanai.

Kā bija atzīmēts augstāk, ir pamats domāt, ka informācijas sistēmu modeļi var būt izmantoti izstrādājot loģistiskās transporta sistēmas un vērtējot to efektivitāti. Bez citiem ne mazāk svarīgiem argumentiem šāda slēdziena labā, ir nepieciešams ņemt vērā to, ka informācijas un transporta sistēmas ir matemātiski izomorfiskas, jo šo modeļu abi klasi (informācijas un transporta) ir balstītas uz vienas un tās pašas matemātiskās bāzes – masu apkalpošanas teorijas.

6.Informācijas un transporta sistēmu matemātisko modeļu izomorfisma piemērs.

6.1.Jēdziena „komunikāciju tīkls” definīcija.

Augsti efektīvo loģistisko transporta sistēmu ieviešana ir viens no prioritātes uzdevumiem, kuri tiek risināti pašlaik Eiropas Savienībā. Šādu sistēmu zinātniskais pamatojums un pavadīšana – ir viens no svarīgākajiem zinātnisko pētījumu virzieniem, kurus veic Eiropas zinātnieki.

„Kravu un pasažieru loģistika Austrumu Eiropas transporta koridoros” projekts, izpildāmais Eiropas Savienības valstu sadarbības ietvaros, satur veselu uzdevumu klāstu problemātisko jautājumu pētīšanā, kuri rodas izveidojot un ekspluatējot loģistiskās transporta sistēmas.

Uzdevumi ir sadalīti pa nodaļām, kuras attiecas uz dažādām loģistiskām apakšsistēmām, tādām kā „Transporta plūsmas”, „Transporta tehnoloģijas”, „Informācijas bāze”, „Ekoloģija”, „Ritošais sastāvs”, Drošība un drošums”, „Normatīvā bāze”, „Transporta Infrastruktūra”.

Liela daļa uzdevumu definēto projektā ir vērsta uz plūsmu sistēmu, kurām ir tīkla struktūra optimizāciju. Uzdevumu definēšanā ir labi saredzama asa plūsmu tīkla struktūru iedalīšana uz divām klasēm.

• Tīkla struktūras, kas ir domātas pārvadājumu procesa vadīšanai. Šo uzdevumu atrisināšanas mērķis, saistīto ar šīm tīkla struktūrām, ir loģistisko transporta sistēmu informācijas infrastruktūras optimizācija, kura nodrošinās efektīvu transporta procesu vadīšanu.

• Tīkla struktūras, kas ir domātas tiešai kravu un pasažieru transportēšanai. Šīs loģistiskās transporta sistēmu daļas optimizācijai ir veltīti uzdevumi, kuri ir uzskaitīti sadaļā „Transporta infrastruktūra”. Šo uzdevumu daļas atrisināšanas mērķis ir infrastruktūras komponenšu optimizācija automobiļu, dzelzceļa un kombinētā transportā.

Matemātisko modeļu izstrādāšana šo divu tīkla struktūru analīzei un optimizācijai neizbēgami novedīs pie matemātiski izomorfisku modeļu izveidošanas, jo šādi modeļi var būt izstrādāti galveno kārt to matemātisko līdzekļu bāzē, kuri bija aprakstīti daļās 4, 5. Protams, izstrādājot modeļus dažu specifisku problēmu pētīšanai, kuras rodas transporta sistēmās, var būt izmantoti arī citi matemātiskie līdzekļi.

Kopā ar to, dažos gadījumos tiek izveidoti modeļi, kuri, ņemot vērā attiecīgu modeļa mainīgo interpretāciju, var būt izmantoti kā informācijas, tā arī transporta sistēmu analīzei. Šādos gadījumos līdzīgi modeļi parasti nosauc ne vis par informācijas vai transporta sistēmu modeļiem, bet par komunikācijas sistēmu modeļiem, jo jēdziens „komunikācija” domā ka transporta, tā arī informācijas saiti starp attālinātiem punktiem.

Ka komunikācijas tīkla piemērs zemāk ir izskatīts modelis, kuru var izmantot kā informācijas tā arī transporta sistēmu analīzei un optimizācijai.

Tādā veidā, zem komunikācijas tīkla tiek domāts tīkls virzītai dažādas fiziskas dabas plūsmu transportēšanai starp teritoriāli attālinātiem ounktiem.

6.2.Komunikāciju tīkla saturīgais apraksts.

Rindu teorijas matemātisko līdzekļu bāzē var būt izstrādātas matemātiski izomorfiski komunikāciju tīklu modeļi ar dažādu fizisku dabu, tādu piemēram, kā dzelzceļa tīkli, datu pārraides tīkli, autoceļu tīkli, transporta, automobiļu vai tramvaja tīkli pilsētās un t.t.

Ne iedziļinoties plūsmu fiziskajā dabā, kuri cirkulē dažādos komunikāciju tīklos, izskatīsim apkopotu komunikāciju tīklu, parādīto zīm. 1.

Lai katrā i tīkla mezglā no ārienes ienāk pieprasījumu uz apkalpošanu puasona plūsma ar intensitāti . I=1,2...N. Katrā i tīkla mezglā ir m_j apkalpošanas kanālu. Pieprasījumi mezglā tiek apkalpoti ar vienu no m_j kanāliem, pie tam apkalpošanas laiks pakļaujas paraugsadalījumam ar parametru , kas ir vienāds visiem i mezgla kanāliem. Ja visi kanāli i mezglā ir aizņemti, tad pieprasījums šajā pašā mezglā iestājas rindā. Tādā veidā katrs i mezgls – ir masu apkalpošanas sistēma ar m_j kanālu skaitu un gaidīšanu M/M/m_j.

Pēc apkalpošanas i mezglā pieprasījums ar varbūtību r_ij ienāk j mezglā, vai atstāj tīklu ar varbūtību .

Apzīmēsim caur R=|r_ij| pieprasījumu pārejas no mezgla mezglā varbūtību N x N matricu.

Tīklam, zīm.1., uzdosim pāreju varbūtību matricu R.

Pieprasījumu ienākšanas katrā i mezglā summārā intensitāte tiek noteikta ar lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu:

N – mezglu skaits tīklā.

Tādā veidā varbūtību aprēķināšanai nepieciešams uzdot visus izejas datus:

- pieprasījumu pienākšanas mezglā intensitātes vektors;

- apkalpojošo kanālu mezglos skaita vektors;

- pieprasījumu apkalpošanas mezglā intensitātes vektors;

- pieprasījumu pāriešanas varbūtība matrica;

- mezglu skaits tīklā.

Att.1.

6.3.Komunikāciju tīkla funkcionēšanas efektivitātes rādītāji.

Ja ir šādi izejas dati, tad tiek aprēķinātas varbūtību vērtības, kā arī jebkuram i mezglam tiek noteikti sekojoši tīkla funkcionēšanas efektivitātes rādītāji.

• P₀ varbūtība tā, ka visi mezgla apkalpojošie kanāli būs brīvi.

• Vidējais pieprasījumu skaits rindā:

• vidējais gaidīšanas laiks mezglā:

• vidējais aizņemto kanālu skaits:

• pieprasījumu vidējais skaits:

• pieprasījumu apkalpošanas tīklā vidējais laiks:

Nobeigums.

Raksta mērķis – parādīt kādas iespējas transporta sistēmu modeļu izstrādei var piedāvāt matemātisko līdzekļu un modeļu arsenāls, kurs ir izstrādāts pagājušā gadsimta laikā informācijas sistēmu izveidošanas procesā.

Cik labi raksta autoriem izdevās sasniegt šo mērķi spriest var tās lasītāji un kritiķi, tomēr nobeigumā autori uzskata par nepieciešamu atzīmēt sekojošo.

Rindu teorijas pirmie matemātiskie modeļi bija izstrādāti divdesmitā gadsimta sākumā telefonijas problemātisko jautājumu atrisināšanai. Pat līdz otrā pasaules kara beigām masu apkalpošanas teorija, kā varbūtības teorijas atsevišķs nozarojums, attīstījās kā praktiska matemātiska disciplīna inženieru uzdevumu risināšanai, kuri rodas telefonu tīklu projektēšanas procesā.

Būtisku ieguldījumu šīs jaunās varbūtības teorijas nodaļas attīstībā ienesa tadi zinātnieki kā A.K.Erlangs, F.Popljacheks, L.Takačs.

Par masu apkalpošanas teorijas kā atsevišķas disciplīnas etapa darbu kļuva A.Hinčina darbs „Stacionārās rindas matemātiskā teorija”, publicētais 1932. gadā. Šajā darbā pirmo reizi bija izdarīts pieņēmums, ka vienkanāla masu apkalpošanas sistēmā apkalpošanas process nav markova process. Citiem vārdiem, savā darbā Hinčins parādīja, kā uzbūvēt matemātisko modeli, ja pieprasījumu apkalpošanas laiks vienkanāla sistēmā pakļaujas nevis paraugsadalījumam, bet patvaļīgam sadalījumam. Tieši Hinčins ieveda apgrozībā jaunas zinātniskās disciplīnas nosaukumu „Masu apkalpošanas teorija”.

Pēckara laikā pēc pirmās elektroniskās skaitļošanas mašīnas ENIAK publiskās demonstrācijas un tālākas straujas datortehnoloģiju un jaunu tīklu tehnoloģiju attīstības, praktiskās vajadzības ierosināja matemātiķu un praktiķu masu piedalīšanos jaunu matemātisko līdzekļu un modeļu izstrādāšanā, kuri bija nepieciešami projekta aprēķiniem un no jauna izstrādājamo informācijas sistēmu novērtēšanai.

Savā grāmatā „Elements of Queuing Theory with Application”, kura bija izdota 1961.gadā amerikāņu matemātiķis Thomas Saaty parāda bibliogrāfisku sarakstu ar vairāk nekā 1000 ievērojamiem darbiem masu apkalpošanas teorijā, kuri ir veikti uz 1961.gada sākumu. Šā paša autora atsevišķajā darbā, veltītajam rindu teorijas bibliogrāfijas pētīšanai tiek parādīts saraksts ar vairāk nekā 7000 publikācijām.

Septiņdesmitajos-deviņdesmitajos gados šis saraksts ievērojami papildinājās ar darbiem, kuros tika pētītas sarežģītas informācijas struktūras un tika uzbūvēti to matemātiskie modeļi. Tā parādījās daudz publikācijas, veltītās datortīklu, kas bija pirms Interneta, pētīšanai.

Kopā ar tradicionālo varbūtības analīzi modeļu uzbūvēšanā tika piedāvātas jaunas pieejas, piemēram, tādas kādas tika izmantotas operāciju analīzes modeļu izstrādāšanā. Jaunas, tā saucamās operāciju modeļu izstrādes metodes saturs tika izklāstīts D.Denninga un P.Buzena rakstos. Īpaša uzmanība šajā metodē tika pievērsta sarežģītu informācijas sistēmu modeļu vienkāršošanai, kuru varbūtības apraksts bija arkārtīgi sarežģīts, un tādēļ varbūtības modeļi nebija atraduši plašu praktisku pielietojumu.

Operāciju analīzes vienkāršāki modeļi kopā ar rindu teorijas varbūtības modeļiem var būt izmantoti kā informācijas, tā arī transporta procesu analīzei, jo abi modeļu klasi, transporta un informācijas, ir matemātiski izomorfiski.

Operāciju analīzes pamati ir vienkārši un saprotami izklāstīti D.Denninga un P.Buzena rakstā „The Operational Analisis of Queuing Network Models”, publicētais žurnālā Computer Surveys V.10, N3, 1978.g.

Kopumā, var apgalvot: matemātisko līdzekļu un modeļu arsenāls izstrādātais dažādas nozīmes informācijas sistēmu izveidošanas un uzlabošanas procesā, satur neizsmeļamu bāzes materiāla krājumu dažādu transporta sistēmu matemātisko modeļu konstruēšanai.

Literatūra:

1.Л.Клейнрок ,Теория массового обслуживания,М.,” Машиностроение”,1979.

2. Л.Клейнрок, Вычислительные системы с очередями, М.,” Мир”,1979.

3.Т.Саати,Элементы теории массового обслуживания и ее приложения, М.,” Советское радио”,1965.

4.Е.С.Вентцель,Исследование операций, М.,” Советское радио”,1972.

5.Little J.D.,CA Proof of the Queueing Formula L=w.Op.Res.,9,1961.

6.Gordon W.J,Newell G.F.Closed Queueing Systems with Exponentiаl Servers, Op.Res.,15,1967.

7.Jackson J.R.Networks of Waiting Lines,Op.Res.,5,1957.

8.Математический энциклопедический словарь, М., “Большая Российская энциклопедиая”,1995.

В.С. Любинский . Оценка безопасности систем железнодорожной автоматики и телемеханики ( сжат) по надежности ее элементов

АННОТАЦИЯ.

Обсуждается правомерность концепции опасных и защитных отказов при оценке безопасности СЖАТ.Оценивается погрешность в расчетах уровня безопасности СЖАТ, основанных на концепции опасных отказов. Предлагается новый подход для разработки моделей безопасности СЖАТ,основанный на концепции «опасного» элемента. Разработаны для различных конфигураций системы три версии марковских моделей СЖАТ. Разработаны и исследованы компьютерные модели, получены численные значения показателей безопасности СЖАТ:

 вероятность опасного состояния СЖАТ;

 коэффициент безопасности;

 вероятность безопасной работы системы.

1.ПОНЯТИЕ БЕЗОПАСНОСТИ.

Понятие безопасности СЖАТ достаточно подробно обсуждалось в [1].Безопасноть систем управления, подобных СЖАТ, может быть внешней и внутренней.

Внешняя безопасность связана с сохранностью системы управления как обьекта и может нарушаться из-за внешних воздействий.

Внутренняя безопасность СЖАТ есть свойство системы сохранять исправное, работоспособное и защитное состояния. Рассмотривая задачу оценки безопасности, мы под безопасностью СЖАТ подразумеваем ее внутреннюю безопасность.

В поцессе эксплуатации СЖАТ может быть исправной и неисправной.

Если СЖАТ неисправна, то в таком случае система может находиться в одном из трех состояний:

неисправном, но работоспособным, когда отказы некоторых элементов системы не оказывают существенного влияния на выполнение системой своих основных функций;

неработоспособном, но защитном, при котором значения всех параметров, характеризующих способность системы выполнять свои функции по обеспечению безопасности движения поездов, соответсвуют требованиям нормативно-технической и ( или) конструкторской документации;

неработоспособном,опасном, при котором значения хотя бы одного параметра, характеризующих способность системы выполнять заданные функции по обеспечению безопасности движения поездов, не соответсвуют требованиям нормативно-технической и ( или) конструкторской документации.

Таким образом, СЖАТ может быть в одном из четырех состояний.

исправном;

неисправном работоспособном;

опасном.

В соответствии с концепцией, принятой в [1], переход системы из исправного состояния в одно из неисправных осуществляется под воздействием отказов двух типов:

защитных, которые переводят систему из исправного или неисправного, но работоспособного состояния в неработоспособное, но защитное состояние;

опасных, появление которых переводит систему в неработоспособное опасное состояние.

Разделение отказов на опасные и защитные устанавливает определенную неравноценность отказов.Это, как отмечается в [1], ... дает возможность при построении системы сконцентрировать внимание, прежде всего, на защите от опасных отказов, что способствует повышению уровня безопасности и уменьшению обьема аппаратуры. Кроме того, разделение общего потока отказов на опасные и защитные дает возможность авторам работы [1] существенно упростить задачу оценки безопасности СЖАТ. Задача оценки безопасности СЖАТ при таком подходе сводится , в сущности, к расчетам по известным в теории надежности формулам. Если известны параметры потока опасных отказов, то используя экспоненциальную вероятностную модель надежности легко рассчитать основные показатели безопасности. В качестве показателей безопасности в [1] предлагаются показатели, идентичные показателям, используемым в теории надежности:

Р_б(t) -вероятность безотказной работы – вероятность того, что в пределах заданной наработки t опасный отказ системы не наступает;

Q_оп(t)- вероятность опасного отказа - вероятность того, что в пределах заданной наработки опасный отказ наступает хотя бы один раз;

Т_оп - средняя наработка до опасного отказа- математическое ожидание наработки системы до первого опасного отказа;

К_{б -} коэффициент безопасности _- вероятность того, что система окажется в работоспособном или защитном состоянии в произвольный момент времени.

Если известно значение параметра потока опасных отказов _оп, то при экспоненциальном законе распределения времени безопасной работы перечисленные выше показатели безопасности определяются соотношениями:

Р_б(t) = e^-_оп^t

Q_оп(t)= 1 - Р_б(t);

Т_оп = ;

К_б = ,

где Т_в.ср - среднее время восстановления.

Таким образом, в концепции безопасности, принятой в [1], ключевым является допущение о том, что поток отказов в системе СЖАТ можно разделить на два различных потока: защитных и опасных.

Это допущение позволяет использовать вероятностые экспоненциальные модели надежности для оценки безопасности путем замены в этих моделях параметра потока отказов, характеризующих надежность, на параметр потока опасных отказов.

Однако остается открытым ряд вопросов:

как из общего потока отказов, которые обьективно появляются в системе, выделить и определить параметры потока опасных отказов ?

возможно ли такое разделение общего потока отказов, который формируется в системе в соответствии с реальной надежностью элементов СЖАТ?

как при решении задачи оценки безопасности СЖАТ найти значения параметра потока опасных отказов и насколько достоверными будут найденные значения?