Основы теории управления

75. Передаточные функции последовательного и параллельного соединения звеньев.

Передаточная функция звена W(p)– отношение изображения выхода звена к его входу.

Для доказательства будем пользоваться 3-мя звеньями.

В случае последовательного соединения:

При последовательном соединении выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена.

При параллельном соединении:

При параллельном соединении все звенья имеют одну и ту же входную величину, а их выходные величины суммируются.

76. Передаточная функция замкнутой системы.

Обратная связь это воздействие выходной величины какого-то звена на его вход. Если это воздействие совпадает по знаку с входной величиной, то обратная связь - положительная. В противном случае обратная связь - отрицательная.

77. Устойчивость линейных систем (вывод).

Устойчивость – свойство САУ возвращаться в заданный или близкий ему установившийся режим после какого-либо воздействия.

САУ устойчива, если переходные процессы в ней затухающие, выходная величина является ограниченной при условии, что входная величина также ограничена.

Рассмотрим дифференциальное уравнение звена системы:

После первоначального воздействия, выведшего систему из установившегося состояния, выходная величина складывается из двух составляющих: установившегося и переходного.

Таким образом, устойчивость системы будет зависеть от переходной составляющей, которая, в свою очередь, является решением следующего уравнения (т.к. не const):

Согласно правилам решения ДУ,

Где p определяется корнями уравнения:

В случае пары мнимых корней:

Учитывая, что , при положительной действительной части хотя бы одного из корней p, переходная составляющая будет расходиться – система неустойчива, при всех отрицательных действительных частях p – процесс затухает. При всех отрицательных и 0 – гармонические колебания (см. синусоидальную функцию выше).

78. Критерий устойчивости Михайлова (вывод - случай вещественных корней).

Рассмотрим p следующим образом ( – угловая частота колебаний)

Тогда

Если рассматривать уравнение , как того требует метод отыскания устойчивости, то записать выражение можно в следующем виде:

Каждая из скобок представляет собой комплексное число, а при перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Рассмотрим отдельно одну из скобок.

• Если – положительное вещественное число, то при опишется угол -П/2.

• Если – отрицательное вещественное число, то при опишется угол П/2.

Для того, чтобы все вещественные части корней были отрицательны требуется, чтобы суммарный угол поворота составил nП/2, т.е. для устойчивости линейной системы n порядка необходимо и достаточно, чтобы D(iw), описывающий кривую Михайлова при изменении от 0 до имел общий угол nП/2.

Кривая Михайлова для устойчивой системы имеет спиралевидную форму, причем ее конец уходит в бесконечность в квадранте, номер которого равен порядку системы, причем порядок прохождения квадрантов не должен нарушаться (должно происходить чередование корней).

Наличие границ устойчивости определяется так:

1. Нулевой корень: годограф выходит из (0,0).

2. Колебательная граница: годограф проходит через (0,0).

3. Бесконечный корень: a0 будет проходить через 0-е значение, меняя знак с + на -.