5. Модели финансовых потоков

Литература: 1[гл.5,6,§5.1 – 5.5], 2 [гл.2,§2.3]

Финансовые и товарные потоки являются составной и неотъемлемой частью практически любой сферы человеческой де­ятельности. В коммерции они образуют питательную среду това­родвижения. В экономической, финансовой, производственной и других сферах, направленных на удовлетворение потребностей человека, эти потоки порождают интерес и объясняют смысл их существования. Примерами таких потоков являются: оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как ра­зовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени; по­гашение банковской задолженности или коммерческого кредита частями и т.п. При этом может возникать целый ряд последова­тельных, например равновеликих, платежей R, которые и обра­зуют поток платежей в соответствии с контрактами на поставку товаров.

При некоторых платежах проценты начисляются на нахо­дящиеся в обороте деньги. Здесь возникают две основные задачи:

• определить наращенную сумму потока платежей;

• по наращенной сумме определить величину отдельного платежа.

Ряд последовательных финансовых платежей, производимых через равные промежутки времени, называются финансовой рен­той, или аннуитетом. Примерами аннуи­тета могут быть регулярные взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным бумагам, например по акциям, платежи за партии товаров и т.д. Характеристики финансовая рента:

R_j - член ренты , вели­чина каждого отдельного платежа;

τ_j - интервал ренты, времен­ной интервал между двумя платежами;

t –срок ренты, время от начала реализации ренты до момента последнего платежа (быва­ют и вечные ренты);

i, i_c , j, d, d_c , f - процентная ставка для расчета наращения или дисконтирования платежей;

S – наращенная будущая сумма ренты, включающая все члены потока платежей с процентами на дату последней выплаты;

А - современная (приведенная) величина ренты, сумма всех членов потока платежей, дисконтирован­ная (уменьшенная) на величину учетной ставки на начальный момент времени ренты.

Ренты подразделяются на постоянные, когда члены ренты равны: R₁ = R₂ = R₃ = … = R_n, и переменные.

По моменту выплат членов ренты различают ренты: постнумерандо (обычные), в которых платежи осуществляются в конце соответствующих периодов, и пренумерандо, в которых платежи производят в начале указанных периодов.

Модель потоков ежегодных платежей, с начис­лением процентов на платежи в конце каждого года (постнумерандо) по сложной процентной ставке.

Величина каждого конкретного платежа определятся формулой:

S_t = R·(l + i_c)^n-t,

где n – количество платежей величиной R.

Сумма всех платежей:

S = = = R = R .

Коэффициент наращения равен:

k_на = = .

Для каждого платежа современное значение определяется формулой:

A_t = R .

Современная приведенная величина всей ренты опре­деляться выражением:

A = = R = a·R= R .

где а является коэффициентом приведения ренты и определяется фор­мулой :

a = = .

Пользуясь этой моделью, можно определять различные показатели операции:

• вели­чину платежа:

R = = ; R = = ;

• срок ренты:

n = , n = - .

В зависимости от исходных данных при решении каждой за­дачи формируется соответствующий набор моделей для опреде­ления количественных значений показателей контракта.

Пример 5.1. Вкладчик в конце каждого месяца вкладывает в банк 1000 руб. Проценты начисляются ежемесячно по номиналь­ной годовой ставке сложных процентов, составляющей 12%. Оп­ределите наращенную сумму на счете вкладчика через 2 года.

Дано: R =1000; n = 24; m = 12; i = = = 1% = 0,01.

Найти: S.

Решение.

Наращенную сумму на счете вкладчика определятся по формуле:

S = R ·

S = 1000· = 10⁵·(l,2697346 – l)= =26973руб.46коп.

Если бы вкладчик накапливал долг и не включал в оборот, то наращенная сумма составила бы всего 24 000 руб.

Пример 5.2. Вкладчик желает накопить в течение двух лет в банке 30 000 руб., производя ежемесячные равные вклады по номинальной годовой ставке 12%. Определите сумму ежемесячного вклада при условии, что проценты начисляются ежемесячно.

Дано: S = 30000; п = 24; j% = 12%.

Найти; R

Решение.

Вычислим величину ежемесячного сложного процента:

i_c = = = 0,01

Сумма ежемесячного вклада составит:

R =

R = = = 1112 руб. 20 коп.

Пример 5.3. Вкладчик намерен положить в банк сумму, чтобы его сын в течение учебного года(сентябрь-июнь – 10 месяцев) мог снимать в кон­це каждого месяца по 3т.р. и израсходовать к концу года весь вклад. Определите сумму вклада, если ставка слож­ных процентов в месяц составляет 2%.

Дано: R = 3000 р., п = 10; i_c % = 2%;.

Найти; A.

Решение.

Сумма вклада равна современной ценности ренты, состоящей из пяти платежей:

A = R· ;

A = 3000· =1,5∙10⁵ = 26947р.76к.

Пример 5.4. Заемщик получил кредит 3 млн руб. на 5 месяцев с условием гашения долга в конце каждого месяца равными срочны­ми платежами. На величину долга начисляются сложные процен­ты по ставке 5% за месяц. Определите сумму срочного платежа.

Дано: А = 3 000 000 руб.; п = 5; i_с = 0,05.

Найти; A.

Решение.

Сумма срочного платежа определяется по формуле:

R = ;

R = = 692924 руб. 39 коп.

Вопросы к теме:

1. Виды потоков платежей.

2. Рента. Аннуитет.

3. Основные параметры ренты.

4. Рента постнумерандо, рента пренумерандо.

5. Современная стоимость ренты.

6. Расчеты срока ренты, члена ренты и т.д.