4. Модели операций дисконтирования

Литература: 1[гл.2,§2.4], 2 [гл.2,§2.1.5 – 2.1.9]

В практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по данной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, то есть непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается. Процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом или скидкой.

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа S.

Дисконтирование позволяет учитывать в операциях фактор времени. Различают математическое дисконтирование и коммер­ческий или банковский учет.

Математическое дисконтирование связано с определением так называемого «современного» или «приведенного» значения Р на некоторый момент времени, которое соответствует заданно­му значению S в другой момент времени. Простейшая задача – определение суммы вклада Р на основе заданной конечной вели­чины в будущем S через временной период начислений n под за­данную, например, простую ставку процентов:

P = = S·k_д,

где k_д – коэффициент дисконтирования (приведения) по простой ставке процентов k_д = .

Дисконтированное значение будущей суммы вклада по слож­ной ставке процентов равно:

P = = S·k_дс,

где k_дс – коэффициент дисконтирования (приведения) по сложной ставке процентов k_дс = ;

по номинальной ставке процентов j при начислении процен­тов m раз в году –

P = ; k_дн = .

Банковский учет заключается в покупке денежных обяза­тельств, например, векселя банком по цене, которая меньше но­минальной указанной в нем суммы. В этом случае говорят, что вексель учитывается, и клиент получает сумму:

P = S – D,

где S – номинальная сумма данного обязательства;

Р – цена покупки векселя банком;

D – дисконт, сумма процентных денег (доход банка).

Процентный доход покупателя векселя банка может опреде­ляться по простой годовой учетной ставке:

d% = ·100%.

Если срок n от даты учета до даты погашения, то дисконт определяется по формуле:

D = n·d· S .

Если срок n от даты учета до даты погашения будет состав­лять часть года, то дисконт определяется по формуле:

D = ·d·S,

где d – относительная величина простой учетной ставки.

Предъявителю учитываемого денежного обязательства будет выдана сумма:

P = S – D = S(l – nd) = S .

Дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления, и заемщик полу­чает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, подлежащего к возврату. При проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться формулой:

S = ;

при проведении операции по сложной учетной ставке d_c –

S = ,

где d_c – относительная величина сложной учетной ставки.

При проведении операции по номинальной годовой учетной ставке f, с при начислением процентов m раз в году пользуются формулой:

S =

Откуда можно найти другие показатели операции:

• количество интервалов начисления (соответственно для простой учетной ставки, сложной, номинальной):

n = ; n = ; n = ;

• учетная ставка (соответственно простая, сложная, номинальная):

d = ; d_c = 1- ; f = m .

При непрерывном начислении процентов по номинальной годовой учетной ставке f справедлива формула:

S = Pe^-f·n,

из которой находим следующие формулы:

n = ; f = .

Пример 4.1. Финансовая компания выдает ссуду 15 000 руб. на полгода по простой годовой процентной ставке d = 5%. Опреде­лите сумму, которую получит клиент, и доход компании.

Дано: S = 15 000 руб.; d = 0,05; n = 0,5,

Найти: Р

Решение.

сумма, которую по­лучит клиент, составит:

Р = S(l – nd)

Р = 15 000(1 – 0,5 · 0,05) = 14 625 руб.

Доход финансовой компании исчисляется простым дискон­том,

D = ndS (или D =S - Р)

D = 0,5 · 0,05 · 15000 = 375 р. (или D =15 000 - 14 625 = 375 р)

Пример 4.2. Переводной вексель (тратта) выдан на 100 000 руб. с уплатой 12 ноября того же года. Владелец векселя учел его в банке досрочно – 12 сентября по простой учетной ставке 10%. Определите сумму, полученную владельцем векселя в банке, если число дней в году принять равным Т= 360.

Дано: S = 100 000 р.; d = 0,1; t = 60 дней; Т = 360.

Найти: Р.

Решение.

Сумма, полученная владельцем векселя вычисляется по формуле:

P = S ,

P = l00000 = 98 333 р. ЗЗ к.

Пример 4.3. Операция, связанная с покупкой и последующей продажей облигаций, должна принести через 3 года прибыль в 100 000 руб. Определите современную ценность этой суммы по сложной годовой учетной ставке d = 10%.

Дано: S = 100 000 р.; d = 0,1; n = 3 года.

Найти: Р.

Решение.

Современная ценность суммы прибыли определяется по формуле:

P = S(l – d_c)ⁿ

P = 100000(1 – 0,1)³ = 72 900 р.

Пример 4.4. Клиент получил за вексель сумму 9 700 р.38к., который он учел 01.03.2000 в банке по сложной учетной ставке рав­ной 7%. Какова номинальная стоимость векселя, если срок его погашения векселя 01.08.2000? Т=365.

Решение. Срок от даты учета до даты погашения векселя ра­вен:

1.03.2000 – 61-ый день года; 01.08.2000 – 214-ый день года (год високосный),

t = 214 -61 = 153 дням;

число дней в году Т = 365 дней; S = 10 000 руб.; d_c = 0,07.

номинальная стоимость векселя :

S = , n = ,

n = = 0.4192, S = = 10000 р.

Вопросы к теме:

1. Модель операции дисконтирования по схеме простых процентов с постоянной ставкой.

2. Модель операции дисконтирования по схеме сложных процентов с постоянной ставкой.

3. Модель операции дисконтирования по схеме сложных процентов с переменной ставкой.

4. Модель операции дисконтирования по схеме простых процентов с постоянной ставкой.

5. Дисконтирование процентов m раз в году.

6. Номинальная и эффективная учетные ставки.

7. Непрерывное дисконтирование.