3. Модели развития операций по схеме сложных процентов

Литература: 1[гл.3,§3.1], 2 [гл.2,§2.1.2]

Если в финансово-коммерческих операциях используется схема сложных процентов, то начисляемый процентные деньги I – доход от капитала, суммируется с исходным капиталом Р, и на следую­щем интервале начисления процент начисляется уже от всей об­разовавшийся суммы (Р + I). Такой способ начисления процентов называют ка­питализацией, или реинвестированием, или начислением процентов на процен­ты.

Модель наращения по формуле сложных процентов:

S = Р(1 + i_c) ⁿ = Р(1 + i_c) = Р·k_нс,

где t – срок контракта в днях; Т – количество дней в году (360, 365, 366),

k_нс – коэффициент наращения; k_нс = (1 + i_c)ⁿ.

Формулы для определения таких показателей фи­нансовой операции:

• величина первоначальной суммы (математическое дисконтирование при начислении сложных про­центов):

P = = ;

• относительная величина процентной ставки –

i_c = - 1;

• количество интервалов начисления (лет) –

n = ;

• период начисления процентов в днях –

t = Т· ;

• продолжительность года в днях –

Т = ;

• коэффициент наращения –

k_нс = (1 + i_c)ⁿ = (1 + i_c) .

Если на протяжении всего срока контракта процентная став­ка изменяется, то математическая модель опре­деления наращенной суммы будет иметь вид:

S = P(1+i_C )ⁿ (1+i_C )ⁿ ...(1+i_C )ⁿ …(1+i_C )ⁿ = P ⁿ ,

где n_l – 1-й интервал начисления процентов, l = ;

L – количество интервалов начисления;

k_нс = ⁿ - коэффициент наращения.

Номинальная процентная ставка

Начисление сложных процентов может осуществляться не­сколько раз в году: по месяцам, кварталам, полугодиям. В таких случаях указывается номинальная годовая ставка j на периоде и количество интервалов начисления за год т. Наращенная сумма на­ходится по формуле:

S = P ^mn,

где т – количество интервалов начисления за год;

n – срок контракта в годах;

N = m·n – количество интервалов начисления за весь срок контракта.

Формулы для определения показателей фи­нансовой операции:

• величина первоначальной суммы (математическое дисконтирование при начислении сложных про­центов) –

P = = ;

• относительная величина процентной ставки –

j =( - 1)m;

• количество интервалов начисления (лет) –

n = ;

• период начисления процентов в днях –

t = Т· ;

• продолжительность года в днях –

Т = ;

• коэффициент наращения –

k_нс = (1 + j/m)^mn = (1 + j/m) .

При непрерывном начисление про­центов по номинальной годовой процентной ставке j для определения наращенной суммы имеем формулу:

S = Р·е = Р· k_нс,

где k_нс = е - коэффициент наращения при непрерывном начислении процентов по номинальной годовой ставке j.

Пример 3.1. Коммерческие банки С и D начисляют доход один раз в полгода, причем банк С по простой ставке, а банк D по слож­ной ставке процентов. Через год в этих банках средства инвесто­ра увеличиваются на 60%. В какой банк выгоднее положить день­ги на полгода и в какой – на полтора года?

Решение. По условию задачи через год коэффициенты наращения бан­ков С и D равны, поэтому k_н = k_нс = 1,6, при n = 2, так как начисление осуществляется каждые полгода. Ставка простых процентов для банка С определяется:

k_н =1 + ni = 1 + 2i = 1,6 i = = 0,3; i% = 30%.

Для банка D ставка сложных процентов составляет:

k_нс = (1 + i_с)² = 1,6 i_c = -1 = 0,265; i_c% = 26,5% .

Через полгода, то есть при n = 1, k_н =1 + ni = 1 + 0,3= 1,3;

k_нс = (1 + i_с)² = (1 + 0,265)¹ = 1,265

Следовательно, выгоднее положить деньги на полгода в банк С.

Через полтора года, то есть при n = 3, k_н =1 + ni = 1 + 3∙0,3 = 1,9;

k_нс = (1 + i_с)² = (1 + 0,265)¹ = 2,02.

Следовательно, выгоднее положить деньги на полтора года в банк D.

При анализе коэффициентов наращения можно сделать вывод:

на полтора года (как и вооб­ще на любой срок свыше года) выгоднее положить деньги в банк D, поскольку k_нс = 2,02 > k_н = 1,9 .

Пример 3.2.

Вклад в размере 20 тыс.р. внесен в банк под 12 % годовых. Сколько денег должны выплатить клиенту через 6 месяцев при использовании схемы сложных процентов? Сколько денег должны выплатить клиенту через 6 месяцев при использовании схемы сложных процентов при ежемесячном начислении процентов по номинальной ставке 12% годовых.

Дано: P = 20т.р., i_с% = 12%,n = 0,5. j = 12%, m = 12

Найти: S_c, S_cн.

Решение.

По схеме сложных процентов:

S = Р(1 + i_c) ⁿ,

S_c = 20(1 + 0,12) ^0,5 = 21,166 10489т.р. = 21 104р.89к.

Используя номинальную процентную ставку с ежемесячным начислением процентов, получим:

S = P ^mn,

S_cн = 20 ^12∙0,5=21,23040301т.р. = 21 230р.40к.

Комбинированная схема начисления процентов.

Если срок n платежа превышает 1 год (период), но насчитывает нецелое число лет (периодов),то финансовые структуры иногда применяют комбинированную схему, т.е.сложные проценты – за целое число лет (периодов), простые за остаток. Коэффициент наращения при этом будет вычисляться:

k_нс = (1+i)^[n]∙(1+i∙{n}),

где [n] – целая часть периода n,

{n} – дробная часть периода n.

Наращенная сумма с использованием комбинированной схемы начисления процентов выразится формулой:

S = P ∙(1+i)^[n]∙(1+i∙{n}),

Пример 3.3. Вклад 300 т.р. был положен в банк при ставке 10% годовых на 2 года и 3месяца. Какой будет наращенная сумма при комбинированной схеме начисления процентов?

Дано: P = 300т.р., i% = i_с% = 10%, n = 2 гола 3 месяца.

Найти: S.

Решение.

Воспользуемся формулой:

S = P ∙(1+i)^[n]∙(1+i∙{n}),

[n] = 2 года, {n} = 3месяца = 3/12 года = 1/4 года.

S =300∙(1+0,1)²∙(1+0,1∙1/4) = 372,075т.р. =372 075рублей.

Вопросы к теме:

1. Что понимают под номинальной процентной ставкой?

2. Модель расчета по схеме сложных процентов с постоянной ставкой.

3. Модель расчета по схеме сложных процентов с переменной ставкой.

4. Модель расчета по схеме сложных процентов с номинальной ставкой.

5. Модель расчета по схеме непрерывного начисления процентов.

6. Что понимают под комбинированным начислением процентов?

7. Как определяются модели для расчета показателей финансовой операции?