Березкина Л.Л.
Линейная алгебра
Пособие для студентов
специальностей 1-31 04 01
«Физика (по направлениям)»,
1-3104 02 «Радиофизика»,
1-3104 03 «Физическая электроника»,
1-98 01 01-02 «Компьютерная безопасность
(радиофизические методы
и программно-технические средства)»
Минск
БГУ
2008
УДК 512(075.8)
ББК 22.143я73
Б48
Рекомендовано Ученым советом
физического факультета
28 Сентября 2006 г., протокол №2
Р е ц е н з е н т ы:
кандидат физико-математических наук В.В. Балащенко
кандидат физико-математических наук С.С. Белявский
Березкина, Л.Л.
Б48 Линейная алгебра: пособие для студентов спец. 1-31 04 01 «Физика (по направлениям)», 1-3104 02 «Радиофизика», 1-3104 03 «Физическая электроника», 1-98 01 01-02 «Компьютерная безопасность (радиофизические методы и программно-технические средства)» / Л.Л. Березкина. - Минск: БГУ, 2008. - 183 с.
ISBN 978-985-485-877-7.
В пособии рассматриваются основные разделы высшей алгебры, входящие в программу курса высшей математики для физических факультетов: матрицы и определители, системы линейных уравнений, линейные и евклидовы пространства и линейные операторы на этих пространствах, а также элементы тензорной алгебры.
Для студентов физических специальностей БГУ.
Предисловие
Учебное пособие написано на основе лекций, читаемых автором в течение многих лет на факультете радиофизики и электроники Белорусского государственного университета. Бурное развитие электроники вообще и компьютерной техники в частности заставляет включать в учебные планы факультетов, обучающих этим специальностям, все новые и новые учебные курсы. В связи с этим сокращается время для традиционного курса высшей математики, тогда как роль математики в изучении специальных дисциплин возрастает.
Толчком к написанию данного пособия послужило то, что раздел «Элементы тензорной алгебры» из курса математического анализа был перенесен в курс высшей алгебры без увеличения количества часов в учебном плане, отведенных этому предмету. Это потребовало пересмотра многих доказательств с целью приведения изложения к единому стилю, согласующемуся со стилем изложения тензорной алгебры на физических факультетах. Таким образом, начиная с третьей главы основные доказательства проводятся в индексной или координатной форме с применением соглашения Эйнштейна. Результаты формулируются также и в традиционном матричном виде.
В пособии отсутствует раздел, посвященный численным методам линейной алгебры, так как на факультете радиофизики и электроники читается общий курс «Численные методы».
В тексте применяются общепринятые в математике обозначения. Кроме того, начало доказательства обозначается символом ►, конец – ◄, начало решения примера – символом ▼, а конец – символом ▲. При нумерации аксиом используется символ *, а при нумерации свойств, требующих доказательства, – символ º.
Глава 1. Матрицы и определители § 1. Матрицы и линейные операции над ними Основные определения
Матрицей
размеров
(читается m
на n)
называется
числовая
таблица,
имеющая m
строк и n
столбцов.
Матрицу сокращенно
обозначают одной большой буквой
латинского алфавита, например A.
Чтобы подчеркнуть ее размеры, их будем
записывать нижними индексами, например,
матрицу А
размеров
запишем так:
.
Элементы матрицы обозначаются той же
буквой латинского алфавита, что и сама
матрица, но малой, и снабжаются двумя
нижними индексами, первый из которых
обозначает номер строки, а второй –
номер столбца. Так,
обозначает элемент матрицы А,
расположенный в i-й
строке j-м
столбце. Но запись
(т. е.
в круглых скобках) – это сокращенная
запись всей матрицы А,
т. е.
(читать можно так: матрица А
с элементами
).
Если нужно указать
размеры матрицы, это можно сделать,
например, таким образом:
=
,
либо так:
(читается: i
меняется от 1 до m,
j
меняется от 1 до n).
В развернутом виде матрица записывается, согласно определению, как числовая таблица, при этом с обеих сторон она ограничивается либо круглыми скобками, либо квадратными, либо двумя вертикальными чертами, например:
.
Матрица А
имеет размеры
,
B
–
,
a C
–
.
Матрица называется нулевой и обозначается O, если все ее элементы равны нулю. Для каждых размеров есть своя нулевая матрица.
Если m
= n, то матрица
называется квадратной,
а число n
называется ее порядком (говорят:
квадратная матрица А
n-го
порядка). Элементы
квадратной матрицы образуют ее главную
диагональ и называются диагональными.
Если в квадратной
матрице все недиагональные элементы
равны нулю (
при
),
а отличными от нуля могут быть только
диагональные элементы (среди них могут
быть и нули), то такая матрица называется
диагональной. Примером диагональной
является квадратная нулевая матрица.
Среди диагональных матриц выделяют
матрицу Е,
все диагональные элементы которой равны
1, и называют эту матрицу единичной,
так как во множестве матриц она играет
такую же роль, как и единица во множестве
чисел. Единичная матрица выглядит так:
.
Если обозначить
элементы единичной матрицы
,
то
.
Символ δ, снабжённый
двумя индексами, верхними или нижними
,
равный 1, когда индексы совпадают, и 0,
когда они разные, широко применяется
как в математике, так и в физике, и
называется символом
Кронекера.
Таким образом, элементы единичной
матрицы совпадают с соответствующими
символами Кронекера.
Квадратная матрица
называется верхней треугольной, если
при
,
нижней треугольной, если
при
.
Неквадратная матрица
при n > m
называется трапециевидной, если
при i > j.
Например, А
– верхняя треугольная, В
– нижняя
треугольная, С
– трапециевидная
матрицы:
;
Матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы совпадают.