2 .1.3 Сферические координаты

Аналогом плоским полярным координатам в трехмерном пространстве являются сферические координаты. Некоторые физики их также называют полярными. На рисунке 11 показаны сферические координаты r, . Зная положение частицы, заданное в полярных координатах можно определить декартовы координаты. Пользуясь чертежом, нетрудно установить связь между сферическими и декартовыми координатами. Она выражается тремя уравнениями: (18)

Например, если сферические координаты изменяются по законам: (19) то траектория представляет собой спираль, лежащую на конической поверхности.

Векторное описание положений частицы Радиус-вектор

При задании положения частицы с помощью проекций на координатные оси мы оказываемся крепко привязанными к системе координат. Существует метод описания положений, который свободен от данного недостатка. Это метод векторного описания. При векторном описании важен только факт существования системы координат в принципе. Положение частицы задается вектором , который проводится из начала координат к частице. Он называется радиус-вектором.

Как и любой вектор, радиус-вектор считается заданным, если известны три его проекции на координатные оси. Так =x _x+y _y+z _z, где _x, _y, _z единичные векторы, откладываемые по осям OX, OY, OZ. Проекции вектора x, y, z те же самые, что и при к оординатном способе задания положения частицы. Так что при переходе от векторного обозначения к его проекциям, мы возвращаемся к уже известному методу описания положения.

Важным векторным параметром движущейся частицы является вектор перемещения. Если в некоторый момент t времени положение частицы задавалось радиусом вектором (t), а через время t радиус вектор стал (t+t), то вектор перемещения  определяется следующим образом:  = (t+t)‑ (t). (20)

П ри переносе начала системы координат на некоторый вектор радиус вектор частицы изменяется на величину переноса. Новый радиус-вектор частицы ` становится равным `= ‑ . Вектор перемещения не зависит от выбора положения начала координат. Во всех системах отсчета, неподвижных относительно друг друга, он один и тот же. Модуль вектора перемещения можно определить следующей формулой: | |= . (21) Если радиус векторы в моменты времени t и t+t совпадают, то вектор перемещения равен нулю.

3 Мгновенная скорость

3.1 Средняя скорость

Задание положения частицы в любой момент времени еще не определяет ее состояния. К необходимости большей детализации понятия состояния подталкивают известные апории древнегреческого мыслителя Зенона. Рассмотрим одну из них – апорию стрелы. Пусть из лука выпущена стрела, летящая в цель. Чтобы попасть в цель стрела должна побывать в каждой точке траектории. Точек на траектории бесконечное множество, значит, побывок должно быть бесконечное множество. Полагая, что на побывку в каждой точке нужно затратить некоторое время, приходится сделать вывод, что для продвижения по траектории стреле нужно бесконечное время. Больше того, эти рассуждения можно провести для любого малого отрезка траектории. Таким образом, приходим к выводу: движение невозможно!

Зенон придуман не одну эту апорию. Многие из них указывают на то, что знание положения частицы еще не определяет ее состояние. Покоящаяся в точке частица отличается от частицы, которая находится в данной точке в состоянии движения. Мы должны отличать состояния движения с разной скоростью. Ниже мы рассмотрим процедуру введения понятия скорости частицы.

Частица, движущаяся по траектории от точки к точке, затрачивает больше или меньше времени в зависимости от скорости движения. При движении частицы в пространстве положение частицы задается радиус-вектором. Если в момент времени t₁ радиус-вектор частицы ₁= (t₁), а в момент t₂ ‑ ₂= (t₂), то вектор перемещения частицы равен  = ₂‑ ₁= (t₂)‑ (t₁). (21) Средняя скорость частицы определяется аналогично средней скорости при движении вдоль прямой. Она равна отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое произошло это перемещение: _ср= . (22) В выражении (3) в числителе стоит вектор, поэтому и дробь также является вектором. Средняя скорость ‑ вектор, проекции которого равны (23) [Если частица, отправившись в путь в момент времени t₁, в момент t₂ окажется в том же положении, то перемещение, а с ним и средняя скорость, на интервале (t₁, t₂) будет равна нулю.]

Вектор средней скорости на некотором промежутке времени направлен так же, как перемещение на этом промежутке, т.е. вдоль хорды стягивающей дугу траектории, которая соединяет начальное и конечное положения частицы.