Вопрос 1. В какой точке траектория частицы пересекает ось oy? Чему равен тангенс угла между траекторией частицы и осью ox?

В следующем примере координаты изменяются со временем по законам: (5) Чтобы получить зависимость y=y(x), как и в первом примере из первого уравнения исключим время: t= . Подстановка во второе уравнение (5) дает:  (6) Получилась квадратичная зависимость от x. Значит, траектория представляет собой параболу (рисунок 18).

В правой части формулы (6) фигурируют три параметра. Параметр d= показывает, в какой точке траектория пересекает ось OY. Параметр k= равен тангенсу угла между касательной, проведенной к траектории в точке пересечения ею оси OY, и осью OX. Параметр указывает на крутизну искривления траектории.

В рассмотренных двух примерах размер области движения ничем не ограничен. Частица приходит к началу координат из бесконечности, и потом уходит на бесконечность. Движение такого типа называется инфинитным (безграничным). Рассмотрим третий пример движения, в котором частица всегда остается в ограниченной области пространства. Такого рода движение называется финитным. Пусть координаты x и y изменяются по законам: (7) Явный вид связи между координатами, как и раньше, получим, исключив из уравнений время. Для этого перепишем (7) в таком виде: (8) После возведения обеих частей уравнений в квадрат и почленного их сложения получим следующую связь: (9)

Э то уравнение эллипса с центром, расположенным в точке с координатами (x₀, y₀), и с полуосями, равными a и b. При a=b траектория представляет собой окружность.

1.2 Полярные координаты

Д екартовы координаты не являются единственно возможными параметрами для определения положения частицы. При описании движения частицы на плоскости часто удобным оказывается набор параметров, который задается полярной системой координат. Положение частицы задается расстоянием до начала координат r и азимутальным углом . Данные параметры показаны на рисунке 20. Это криволинейная система координат. Линии равных значений r являются окружностями, линии равных значений . ‑ лучи, исходящие из начала координат. Из чертежа видно, что если заданы полярные координаты, то по ним нетрудно определить декартовы: x=rcos, y=rsin.

При движении частицы изменяются полярные координаты: r=r(t), =(t). Эти зависимости параметрически задают траекторию частицы. Рассмотрим несколько примеров траекторий в полярной системе координат.

Пусть r=v t, =₀. Данные уравнения задают прямую, пересекающую начало координат, которая составляет угол ₀ с осью OX. Это редкий случай, когда траектория в полярных координатах выглядит так же просто, как в декартовых. Прямая, не проходящая через начало координат, в полярных координатах задается довольно замысловатым образом. Уравнения r= и =arctg задают прямую, проходящую через точку x=a, y=b. Тангенс угла наклона прямой к оси OX равен v₂/v₁.

Выбор параметров для описания движения должен следовать принципу простоты и красоты описания. Порой с помощью полярных координат движение описывается много проще, чем с помощью декартовых координат. Например, равномерное движение по окружности в полярных координатах выглядит гораздо проще, чем в декартовых: r=r₀, =₀+t. (10) Это окружность радиусом r₀ с центром в начале координат.

У равнения r=r₀+v_rt, =₀+t (11) описывают равномерно раскручивающуюся спираль. Из уравнений (11) видно, что и расстояние от частицы до центра и азимутальный угол равномерно увеличиваются. Если из второго уравнения (11) исключить время t= , (12) то зависимость r() принимает следующий вид: r=r₀+ (‑₀). (13) Шаг спирали h равен h=2 . (14)

Р ассмотрим еще один пример описания движения частицы в полярной системе координат. Пусть законы изменения расстояния до центра и азимутального угла от времени имеют следующий вид: r=r₀(1+sint), =t. (15)

Исключим время t= . (16) Уравнение траектории r=r() принимает вид: r=r₀(1‑cos). (17) Из этого уравнения видно, что частица совершает финитное движение. Максимальное удаление ее от начала координат равно 2 r₀. Траектория имеет вид сердечка. Она показана на рисунке 22.

В трехмерном пространстве полярные координаты превращаются в цилиндрические. К параметрам r и  добавляется координата z, которая показывает удаления частицы от плоскости XOY. Если, например законы изменения цилиндрических координат задаются формулами r=r₀, =₀+t, z=vt, (18) то движение представляет собой наложение двух движений: равномерное вращение по окружности и равномерное движение вдоль оси OZ. Траектория является винтовой линией с осью, совпадающей с осью OZ. Проекция траектории на плоскость XOY представляет собой окружность.