6 Восстановления скорости V(t) из закона изменения ускорения

6.1 Движение с постоянным ускорением

Р ассмотрим движение с постоянным ускорением. График зависимости ускорения от времени представляет собой прямую параллельную оси времени (см. график a(t) на рисунке 14). Из определения мгновенного ускорения a=v/t следует, что v=at. На графике выделенная узкая полоска имеет ширину t и высоту a. Площадь полоски равна изменению скорости частицы за время t. Для определения скорости частицы по истечении промежутка времени t надо к значению скорости частицы в момент времени t добавить приращение at: v(t+t)=v(t)+at. (13) Значение координаты в любой последующий момент времени определится как сумма изменений скорости на всех бесконечно малых промежутках времени и начального значения скорости. На графике a(t) это площадь прямоугольника.

6.2 Движение с переменным ускорением

Знание зависимости ускорения частицы от времени позволяет определить изменение скорости частицы не только при равноускоренном, но и при неравноускоренном движении. Действительно, исходя из определения ускорения частицы , можно получить изменение скорости частицы v за бесконечно малое время t. Действительно, при t0 ускорение частицы не успевает измениться и движение на выделенном временном интервале времени с высокой точностью можно считать равноускоренным. Поэтому очевидно,

ч то для любого бесконечно малого временного интервала справедливо v=a(t)t или (14)

Это обстоятельство иллюстрирует рисунок 15. Площадь выделенной полоски высотой a(t) и шириной t равна изменению скорости частицы за время t. Изменение скорости частицы не за малый, а за конечный промежуток времени, равно сумме бесконечно малых изменений скорости за бесконечно малые времена, поэтому приращение скорости за конечный промежуток времени равно площади выделенной штриховкой фигуры на графике a(t). Формальное определение изменения скорости на (t₁; t₂): (15)

Плоское движение частицы

1 Метод координат

1.1 Декартовы координаты

Р аспространенным приемом описания движения является задание декартовых координат частицы. При таком описании движение частицы задается тремя функциями времени: (1) Если изменяется только одна координата, то мы имеем дело с одномерным движением. Если изменяются две координаты, то мы имеем дело с плоским движением.

Закон одномерного движения наглядно изображается графиком зависимости x=x(t). Например, закон движения x(t)=x₀+vt изображается прямой, пересекающей координатную ось в точке x=x₀. Он изображен на рисунке 2.

Р ассмотрим другой пример изображения закона одномерного движения с помощью графика. Пусть частица движется по закону x(t)=x₀+v₀t‑ . В этом случае график закона движения изображается параболой с характерными точками: x(0)=x₀, где x(t_m)=x₀+ , t_m= ‑ момент времени, в который значение координаты достигает максимального значения.

Е ще один, более сложный пример. Закон движения частицы задается зависимостью x(t)=x₀+v₀t+ sint. Движение представляет собой наложение двух движений. Одно из них ‑ равномерное движение. Второе движение – колебание с амплитудой b= . Результирующее движение выглядит как колебание со сносом (можно выбрать такую систему отсчета, что движение будет представлять собой чистое колебание около положения равновесия).

При движении частицы на плоскости изменяются сразу две координаты. Графическое описание движение состоит в изображении двух графиков зависимости координат от времени, и является теперь не столь наглядным как в случае одномерного движения. След частицы на плоскости представляет собой траекторию. Каков этот след, не сразу видно из законов изменения координат. Рассмотрим несколько примеров построения траектории частицы.

Допустим, изменяются координаты x и y. Пусть изменения происходят по линейным законам: (2) Запись с помощью уравнения (2) является не только заданием закона изменения координат, но и параметрической формой задания траектории. От нее можно перейти к более привычной форме представления траектории, с помощью зависимости y=y(x). Для этого надо из уравнений (2) исключить время. Например, так: t= . (3) Подстановка (3) во второе уравнение (2) дает искомую функцию: . (4) Как видно, зависимость y(x) линейна. Следовательно, траектория представляет собой прямую линию.