4 Ускорение

В повседневной практике мы чаще всего имеем дело с ситуациями, в которых скорость тел изменяется. Например, скорость подброшенного вверх тела непрерывно изменяется; изменяется скорость шарика, скатывающегося с наклонной плоскости; скорость груза, подвешенного на упругой пружине, становится то больше, то меньше. Движение, при котором скорость частицы изменяется, называется ускоренным.

Целью настоящего раздела является знакомство со способами описания ускоренного движения частиц.

4.1 Среднее и мгновенное ускорения

Естественной и удобной характеристикой ускоренного движения является ускорение. Эта величина находится в таком же отношении к зависимости скорости от времени, что и скорость к зависимости координаты частицы от времени. Ускорение равно скорости изменения скорости.

По аналогии со средней скоростью частицы определяется среднее ускорение. Оно является характеристикой выбранного интервала времени.

Определение 1. Средним ускорением на некотором промежутке времени t называется отношение изменения скорости v, происшедшего за это время к его величине. . (9)

Мгновенное ускорение является аналогом мгновенной скорости. Оно характеризует ускоренное движение в определенный момент времени. Рассмотрим, как определяется мгновенное ускорение.

П усть скорость частицы изменяется по закону v(t). Отметим момент времени t₁. В интервале времени (t₁; t₃) среднее ускорение равно [v(t₃)v(t₁)]/(t₃t₁). Численно оно равно тангенсу угла наклона самой верхней секущей на рисунке 11. При уменьшении промежутка времени t хорда AC поворачивается, тангенс угла наклона проходит значение [v(t₂)v(t₁)]/(t₂t₁) и, наконец, совпадает с касательной к графику v(t) в точке t₁.

Определение 2. Мгновенным ускорением в некоторый момент времени t называется предел, к которому стремится отношение малого изменения скорости за малое время t к величине этого промежутка времени, при его неограниченном уменьшении. . (10)

5 Восстановления X(t) из закона изменения скорости

5 .1 Равномерное движение

Из рассмотрения равномерного движения и определения скорости v=dx/dt очевидно соотношение dx=vdt. На графике зависимости скорости от времени (см. график v(t) на рисунке 12) изображены входящие в это соотношение величины: выделенная узкая полоска имеет ширину t и высоту v. Площадь полоски равна перемещению. Заметим, что знание скорости еще не дает возможности определить координату частицы. Эта информация позволяет определить только перемещение. Для определения координаты частицы дополнительно нужны сведения о начальном значении координаты x(0). Значение координаты в любой последующий момент времени определится как сумма перемещения и начального значения координаты: x(t+t)=x(t)+v(t)dt.

5.2 Неравномерное движение

Знание зависимости скорости частицы от времени позволяет определить перемещение частицы не только при равномерном, но и при неравномерном движении. Действительно, исходя из определения скорости частицы, можно получить перемещение x за бесконечно малое время t. Действительно, при t0 скорость частицы не успевает измениться и движение на выделенном временном интервале времени с высокой точностью можно считать равномерным. Тогда очевидно, что для любого бесконечно малого временного интервала справедливо x=v(t)t. (11)

Э то обстоятельство иллюстрирует рисунок 13. Перемещение частицы не за малый, а за конечный промежуток времени, равно сумме бесконечно малых перемещений за бесконечно малые времена, поэтому приращение координаты за конечный промежуток времени равно площади выделенной штриховкой фигуры (ее называют криволинейной трапецией) на графике v(t).

В некоторых случаях площадь под графиком можно рассчитать аналитически. В общем же случае она может быть найдена непосредственно из графика. Придумано довольно много способов подсчета, например, всем известный способ определения площади фигуры по клеточкам. Современный способ подсчета с помощью компьютера, когда v(t) задается аналитическим выражением, обладает высокой точностью. Нередко применяют совсем уж экзотический способ: изображенную на бумаге фигуру по графику v(t) вырезают ножницами, затем вырезанный кусочек бумаги взвешивают и сравнивают его массу с массой прямоугольного куска. Далее сами можете сообразить, как из этих измерений можно получить значение искомого перемещения. Формальное определение перемещение на интервале времени (t₁; ₂t) состоит в вычислении определенного интеграла в указанных пределах: (12)