3 Мгновенная скорость

3.1 Бесконечно малые перемещения за бесконечно малые времена

Одна из наиболее замечательных идей механики состоит в различении состояний покоящейся и движущейся частицы в одной и той же точке. Быть в данной точке и двигаться в тот же момент представляет собой неочевидную возможность. В свое время древнегреческий философ Зенон, обративший внимание на то, что при перемещении тело проходит через бесконечное множество точек, сформулировал парадокс (апория стрелы Зенона), который доказывал, что движение невозможно. Апория формулируется примерно так. Чтобы выпущенная стрела переместилась на какое-либо расстояние, она должна побывать в бесконечном множестве точек, на что должно требоваться бесконечное время. Любое как угодно малое расстояние стрела должна пролетать бесконечно большое время. Движение невозможно. Ошибка рассуждений заключается в том, что Зенон не отличал состояния движения и покоя. Движущаяся стрела бесконечно малый отрезок траектории пролетает за бесконечно малое время.

Чтобы отличать состояния движения между собой, недостаточно задавать положение частицы. Нужна характеристика движения. Такой характеристикой может служить скорость частицы. Однако средняя скорость частицы не подходит, так как она характеризует движение на целом участке траектории, а не в точке. Скорость должна быть определена в точке траектории. Ньютон предложил следующее определение скорости в точке (далее мы будем называть ее мгновенной скоростью).

Определение. Мгновенной скоростью тела в данный момент времени называется предел отношения x/t при t0, где x  перемещение тела за время t. (6)

Отношение x/t на рисунке 9 равно средней скорости за время t (см. определение средней скорости).

Средняя скорость за время t численно равна тангенсу угла наклона хорды AB.

М гновенная скорость тела в момент времени t равна пределу, к которому стремится средняя скорость при уменьшении промежутка времени до 0. Вспоминая математику, нетрудно узнать в мгновенной скорости производную от координаты по времени.

При уменьшении промежутка времени t до очень малого значения точка B оказывается всё ближе к точке A и направление хорды AB в пределе совпадает с направлением касательной к графику x(t) в точке A. Тангенс угла наклона этой касательной к оси времени дает значение мгновенной скорости в момент времени t.

3.2 Нахождение мгновенной скорости по графику X(t)

Имея график зависимости координаты частицы от времени всегда можно построить зависимость скорости частицы от времени. В основе решения такого рода проблемы лежит установленный выше геометрический смысл мгновенной скорости. Мгновенная скорость является характеристикой крутизны графика x(t).

3.3 Построение графика V(t) по графику X(t)

В соответствии с определением мгновенной скорости (1) зависимость x(t) полностью определяет функцию v(t). Поэтому по графику x(t) можно однозначно построить график v(t). Выполним эту процедуру на примере решения следующей задачи.

Задание 3. Пусть график зависимости x(t), имеет вид, изображенный на верхнем рисунке 26. Требуется построить под ним соответствующий график зависимости v(t). Указание. Возможно продолжение: надо перенести график на миллиметровку, ввести масштаб и построение проводить численно  определяя значения скорости в разные моменты времени. Перед построением графика v(t) следует определить наибольшее и наименьшее значение скорости с тем, чтобы оптимально выбрать масштаб по оси скорости Ov.

Р ешение. Участок 1-2 является отрезком прямой. Так как скорость численно равна тангенсу угла наклона графика x(t) к оси абсцисс, скорость на данном участке движения не изменяется. На участке 2-3 происходит уменьшение крутизны графика x(t) до нуля. Скорость частицы на данном участке также уменьшается до нуля (в момент времени t₃). На участке 3-4-5 крутизна графика отрицательна. Скорость частицы в этом промежутке времени отрицательна (см. нижний чертеж на рисунке 10). Частица движется вспять. Причем, поскольку в точке 4 крутизна хода x(t) самая большая, модуль скорости частицы в момент t₄ максимален. До этого момента времени модуль скорости возрастает, а после  убывает. Это соответствует точке минимума на графике v(t). Участок 5-6 является отрезком горизонтальной прямой. Крутизна графика x(t) равна нулю, скорость на данном участке движения не изменяется и остается равной нулю.

Определения скорости по заданной функциональной зависимости координаты от времени можно проводить чисто формально – вычисляя производную от заданной функции. Например, при получаем , или при получаем , если , то