4 Движение по окружности

4.1 Равномерное движение по окружности

При движении частицы по окружности ее радиус-вектор вращается. А так как вектор скорости в каждый момент перпендикулярен радиус-вектору, он также равномерно вращается с той же самой угловой скоростью. Вообразим пространство скоростей  на координатных осях этого пространства откладываются проекции скорости. За время одного оборота частицы (период обращения T) вектор скорости в пространстве скоростей также совершает полный оборот. Если начало вектора скорости в любой момент времени устанавливать в одну и ту же точку, то его конец будет двигаться по окружности радиуса v. Разобьем период вращения на N равных частей (на рисунке 28 он разбит на 8 частей). Чем мельче разбиение, тем ближе значение изменения скорости на одном участке разбиения к длине соответствующей дуги окружности  2 /N. Сумма модулей изменения скорости  ₁+ ₂+ ₃+...+ _N=N ₁ примерно равна длине окружности в пространстве скоростей, т.е. 2 .

Так как , а период можно выразить из формулы , то получим (32)

4.2 Ускоренное движение по окружности

Р ассмотрим теперь движение, при котором частица движется по окружности с переменным модулем скорости. Пусть в момент времени t скорость тела , а через малый промежуток времени t  . Найдем приращение скорости геометрически. Рисунок 29 поясняет процедуру определения направления приращения скорости. Вектор скорости перенесем параллельно самому себе в точку, где находится частица в момент времени t+t. По определению . Это соотношение и правило треугольника лежат в основе нахождения . Как видно, приращение скорости не направлено по радиусу окружности, как это имело место при равномерном движении. Если модуль скорости растет со временем, то вектор приращения смотрит немного вперед. Если же модуль скорости убывает, то вектор приращения отстает  смотрит немного назад. Поскольку ускорение (t) в момент времени t равно пределу отношения при t 0, постольку ускорение направлено так же, как и приращение скорости.

Р азложим вектор приращения скорости на две составляющие. Одна компонента направлена вдоль касательной к окружности в точке расположения частицы. Это тангенциальная составляющая Другая   параллельна направлению на центр окружности. Это нормальная составляющая приращения скорости . Модуль приращения определяется по теореме Пифагора .

Прямоугольный треугольник ОАВ имеет очень малый угол  (рис. 30), так как за малое время t частица переместится на малое расстояние по дуге окружности, векторы скорости и имеют близкие направления. При этом в треугольнике скоростей катет ОАОВ. Таким образом, прибавление к вектору скорости нормальной составляющей меняет лишь направление, а не величину скорости.

С такой ситуацией вы встречались при описании равномерного движения по окружности: изменения направления скорости частицы давало центростремительное ускорение (сейчас мы называем его нормальным). Его численное значение  a_цс=a_n=v²/r. (33)

Вернемся к рисунку 30. Нетрудно заметить, что тангенциальная составляющая приращения скорости при движении по окружности с высокой точностью равна приращению модуля скорости и направлена по касательной к окружности, т.е. параллельна скорости частицы, поэтому . (34)

Пример 1. Пусть модуль скорости тела меняется по закону v=ct, где c  константа. Имеем v_=v=v(t+t)v(t)=ct. Отсюда a_=c.

Пример 2. Пусть v=qt²; v_=q(t+t)²qt²=q(2tt+t)². t²<<t, v_ 2qtt, a_= =2qt. То есть, в данной ситуации тангенциальное ускорение растет со временем линейно.