3.2 Мгновенная скорость

При движении в пространстве мгновенная скорость равна пределу отношения вектора бесконечно малого перемещения частицы к промежутку времени, за которое произошло это перемещение: . (24) Уравнение (11) эквивалентно трем уравнениям для проекций скорости: (25) Нередко для обозначения производной по времени используют точку, которая ставится сверху изменяющейся координаты: , , .

Рассмотрим пример движения частицы в пространстве. Пусть координаты x, y и z изменяются по законам: (26) Как ранее было установлено, данные законы изменения координат описывают движение частицы по винтовой линии. Определим проекции мгновенной скорости в момент времени t. Согласно (12) имеем: (27) Законы изменения x- и y-проекций скорости заслуживают обсуждения. Во-первых, заметим, что сумма квадратов x- и y-проекций скорости остается неизменной во времени: (28) Это означает, что изменение вектора скорости сводится только к его повороту. Можно убедиться, что поворот происходит равномерно со временем.

И з исходных геометрических построений также ясно, что вектор скорости направлен вдоль касательной, проведенной к траектории в той точке, где находится частица. Это можно показать с помощью рутинного анализа систем уравнений (13) и (14). Или же доказательство можно провести более быстрым способом, используя определение мгновенной скорости. Как было указано выше, мгновенная скорость равна пределу, к которому стремится средняя скорость при длительности временного интервала, на котором она определена, стремящейся к нулю. Перемещение направлено вдоль хорды, стягивающей точки начального и конечного положений частицы. При стремлении промежутка времени к нулю направление хорды стремится к направлению касательной. Таким образом, и направление мгновенной скорости совпадает с направлением касательной к траектории.

Скорость совершенно одинаковым образом определяется в любой криволинейной системе координат. Например, при описании движения частицы на плоскости можно воспользоваться полярной системой координ ат. Криволинейными координатами в ней являются расстояние до начала координат r и азимутальный угол . Если заданы законы изменения полярных координат r=r(t), =(t), соответственно можно определить проекции скорости: Из чертежа на рисунке 28 видно, что проекции перемещения  за малое время t равны r и r. Поэтому проекции мгновенной скорости в выбранных координатах выразятся через r=r(t) и =(t) следующим образом: v_r= = , (29) v_= =r . (30) Величина = называется лучевой скоростью. Она показывает скорость удаления или приближения частицы к началу координат. Параметр = дает скорость изменения направления на частицу. Его называют угловой скоростью. Единицей измерения угловой скорости является обратная секунда ‑ с^-1. Она показывает, на сколько радиан повернулся радиус-вектор частицы за секунду.

2.3.3 Ускорение

При движении частицы в трехмерном пространстве временной интервал характеризуется вектором среднего ускорения. Математическое определение среднего ускорения дается следующей формулой: . (31)

Рассмотрим пример применения формулы (20) для равномерного движения частицы по окружности. Пусть частица равномерно движется по окружности радиусом R со скоростью v. Частица в момент времени t_A находится в точке A. Определим среднее ускорение частицы на интервале времени, в течение которого частица прошла 1/6 часть окружности. Воспользуемся непосредственным векторным представлением скорости частицы в начальной и конечной точках. Учитывая, что вектор скорости направлен вдоль касательной к траектории частицы и условие задачи, говорящее, что конечное положение отстоит от начального на шестой части окружности, можем сделать вывод, что вектор конечной скорости составляет с вектором начальной угол 60⁰. С учетом того, что модуль вектора скорости частицы не изменяется со временем, можем сделать вывод, что векторы , и  образуют равносторонний треугольник. Значит, вектор  имеет модуль, равный модулю начальной скорости. Направление вектора составляет с направлением начальной скорости угол 120⁰. Определим время, в течение которого произошло изменение скорости. Оно равно отношению длины дуги шестой части окружности к скорости частицы: t₂‑t₁=R/3v. Таким образом, модуль среднего ускорения оказывается равным .

Среднее ускорение относится к временному интервалу. Оно не является характеристикой состояния. Более тонкой характеристикой состояния движения, отражающей состояние частицы, является мгновенное ускорение. Оно определяется аналогично мгновенной скорости. Мгновенное ускорение равно отношению бесконечно малого изменения скорости частицы к промежутку времени, в течение которого произошло это изменение: (32) Учитывая, что скорость равна производной по времени от радиуса-вектора частицы, можем сделать вывод, что ускорение равно второй производной по времени от радиуса-вектора: . (33)

Векторное уравнение (22) эквивалентно трем уравнениям для проекций ускорения: (34)

Для примера рассмотрим уже знакомый пример равномерного движения частицы в пространстве по винтовой линии. Определим проекции мгновенного ускорения в момент времени t. Согласно (23) имеем: (35) Координата z изменяется без ускорения, а x- и y-проекции ускорения оказались пропорциональными разностям x‑x₀ и y‑y₀. Так что можно записать: (36) Вектор ускорения вращается точно так же, как отрезок, проведенный от оси винтовой линии до частицы. Ускорение частицы направлено вдоль этого отрезка к оси траектории.

Движение с постоянным ускорением

Рассмотрим движение частицы с ускорением, модуль которого и направление не изменяются со временем. Пусть – скорость частицы в момент времени t=0, ‑ вектор заданного постоянного ускорения. За время t скорость получает приращение . (37) Рассматриваемая ситуация замечательна тем, что приращения скорости за любой промежуток времени имеют одно и то же направление. Это обстоятельство приводит к тому, что вектор скорости частицы в любой момент времени находится в плоскости, в которой лежат векторы и . Следствием этого является то, что траектория частицы при любых значениях векторов и лежит в одной плоскости – в плоскости векторов и [так как вектор скорости лежит всегда в одной и той же плоскости, касательная к траекторий, проведенная к любой точке траектории лежит в той же плоскости]. Задача описания движения упрощается. Если систему координат выбрать так, чтобы две координатные оси лежали в плоскости векторов ={v_x0, v_y0} и , то третья координата будет оставаться постоянной и равной нулю. Будем иметь плоскую задачу.

Для описания движения частицы, движущейся с постоянным ускорением, выберем специальную систему координат. Пусть ось OY будет направлена вдоль ускорения. В этом случае имеем ={0, a}. Соответственно для приращений скорости имеем: (38) Из первого уравнения получаем, v_x=const=C₁. Если просуммировать обе части второго уравнения по всем бесконечно малым промежуткам времени dt от нуля до t, то получим v_y=С₂+at. (39) Учтем, что v_x(0)=v_x0 и v_y(0)=v_y0. Используя это, после подстановки в выражения для проекций скорости, получаем, C₁=v_x0, С₂=v_y0. Таким образом, законы изменения проекций скорости частицы имеют следующий вид: v_x=v_x0, v_y=v_y0+at. (40)

Найдем законы изменения координат частицы. Имеем dx=v_xdt=v_x0dt  x(t)‑x(0)= =v_x0t. (41) dy=v_ydt=v_y0dt+atdt  y(t)‑y(0)= =v_y0t+ . (42)

Формулы (41) и (42) совпадают с законами движения, которые рассматривались в первой главе (система (5)). Там было установлено, что при этих законах траектория частицы является параболой.