1.1. О геометрической нелинейности и независимых от выбора системы отсчета тензорзначных характеристиках

Одной из сложнейших задач МДТТ в целом и ФТП в частности является проблема построения ОС для случая геометрически нелинейных проблем (больших градиентов перемещений). В настоящее время ее решение часто осуществляется обобщением известных «геометрически линейных» ОС. В качестве примера рассмотрим обобщение ОС Максвелла на случай больших градиентов перемещений. Определяющие соотношения Максвелла имеют вид:

где D — тензор деформации скорости, ,  — индифферентные скалярные характеристики материала, ^*=, ^*=. Наличие производной тензора напряжений Коши в левой части уравнения приводит к нарушению требования индифферентности ОС . Действительно, в соответствии с требованием независимости от выбора системы отсчета (аксиомой N3 [35, 50]) вид уравнения не должен меняться при замене системы отсчета (или наложении жесткого движения). Тогда из должно следовать

Учитывая, что , , дифференцируя по времени и подставляя в последнее соотношение, получаем

откуда следует (в силу произвольности O)

.

Последнее соотношение, как нетрудно видеть, не совпадает по виду с ОС . Причина кроется в неиндифферентности производной (несмотря на индифферентность ).

Выход из данной ситуации в большинстве работ по геометрически нелинейным ОС заключается в замене материальной производной на независящую от выбора системы отсчета производную (коротационную или конвективную) . В этом случае определяющее соотношение принимает вид

Напомним, что коротационные и конвективные производные определяются как скорости изменения параметров, фиксируемые подвижным наблюдателем, в первом случае – в жесткой, во втором – в деформируемой подвижной системе отсчета. При этом следует отметить трудности применения конвективных производных, связанные со сложностью отделения изменения параметров за счет физических причин (воздействий) от изменений вследствие деформирования базиса.

При малых квазижестких поворотах (и малых скоростях этих поворотов) соотношение сводится к . Возникающая при таком подходе к обобщению ОС неединственность определения независимых от выбора системы отсчета мер скоростей напряжений, деформаций и других параметров разрешается с привлечением дополнительных гипотез и физического анализа [31].

Следует отметить сложность и важность решения данного вопроса, поскольку физически необоснованный выбор объективных производных может привести к качественно неверным результатам, зачастую трудно выявляемым на предварительной стадии оценки модели. При этом самым сложным является вопрос определения «движения без жесткого вращения» сплошной среды. Данный вопрос в исследованиях по нелинейной механике часто подменяется проблемой независимости ОС от выбора системы отсчета. Конечно, последнее требование должно быть выполнено; как показано выше, осуществить его выполнение достаточно просто. Однако это не снимает вопроса о выборе меры поворота при обобщениях геометрически линейных соотношений на случай больших градиентов перемещений. Действительно, в общем случае движения деформируемой среды невозможно выделить тройку некомпланарных материальных волокон, сохраняющих свою взаимную ориентацию в течение всего исследуемого процесса движения. (При наличии такой совокупности материальных волокон меру ротации тройки единичных векторов, направленных вдоль этих волокон, можно с полным основанием считать мерой жесткого поворота). При произвольном движении деформируемой среды любая выбранная тройка волокон испытывает изменение углов между ними.

В связи с этим в нелинейной механике часто применяется понятие квазитвердого движения, вводимого для принятого представления движения среды совокупностью квазитвердого и деформационного движений. Именно мера последнего вводится в определяющее соотношение как эквивалент меры деформаций в геометрически линейном ОС. Ортогональная тензорзначная функция, характеризующая поворот в квазитвердом движении, используется затем при определении коротационных производных. Заметим, что данный подход тоже не может претендовать на единственность. Однако в любом случае введение мер квазитвердого движения, способа обобщения геометрически линейного ОС на случай больших градиентов перемещением, анализ принимаемых при этом гипотез должны предшествовать экспериментальным исследованиям и лежать в основе программы экспериментов, учитываться при интерпретации и обработке опытных данных.