Структура конститутивной модели с внутренними переменными

Анализ существующих моделей материала и физических механизмов неупругого деформирования широкого класса конструкционных материалов позволяет предложить структуру конститутивной модели, включающую:

1. уравнения состояния (определяющие соотношения (ОС))

, (0.1)

2. эволюционные уравнения (ЭУ) (для скрытых переменных)

, (0.2)

3. замыкающие уравнения (ЗУ)

. (0.3)

Наряду с соотношениями в скоростной (дифференциальной) форме могут использоваться уравнения в терминах самих параметров, характеризующих напряженно–деформированное состояние и воздействия. Вопрос выбора типа ОС, ЭУ и ЗУ – в терминах мер напряженного состояния и других параметров («интегральные» соотношения) или мер скоростей их изменения («дифференциальные» соотношения, соотношения скоростного типа), – в каждом конкретном случае решается исследователем. При этом учитываются соображения физического характера, сложности записи соотношений, ясности интерпретации результатов и т.д.; понятно, что в силу отсутствия четко определенных критериев подобный выбор во многом субъективен. Следует отметить, что общая система соотношений модели материала может содержать уравнения разных типов как по группам соотношений, так и внутри каждой из трех групп.

В качестве положительных сторон подхода можно отметить следующие:

1. Бόльшая ясность физической интерпретации уравнений по сравнению с построением ОС в операторной форме. В частности, при построении макрофеноменологических (операторных) соотношений теории пластичности необходимость учета нескольких (а зачастую – множества) механизмов приводит к чрезвычайной сложности получаемых уравнений, что затрудняет анализ таких ОС (особенно в случаях, когда в авторской работе подробно не раскрывается физический смысл построенных в ней ОС). Применение внутренних переменных позволяет существенно упростить эти операторы. При этом и сами внутренние переменные, и эволюционные уравнения для них физически прозрачны.

2. Возможность прямой или косвенной проверки результатов моделирования эволюции мезо- и микроструктуры на основании опытных данных и/или анализа параметров на различных масштабных уровнях.

3. Относительная простота совокупности уравнений модели (определяющих, эволюционных и замыкающих).

4. Широкие возможности обработки результатов решения эволюционных уравнений при переходе к макропеременным (с использованием различных операторов осреднения). На основании одних и тех же уравнений для микро и мезоуровней возможно получение различных (в том числе – дающих количественно различные результаты) моделей материалов.

5. Модели данного типа обладают значительной универсальностью, поскольку они основаны на фундаментальных физических законах, пригодных для описания целых классов материалов.

В качестве отрицательных сторон подхода можно отметить:

1. Большое число внутренних переменных и соответствующих эволюционных уравнений, необходимых для адекватного описания процесса необратимого деформирования.

2. Трудности решения «проблемы замыкания»: при формулировке физических уравнений для представительного макрообъема возникает необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них, и так далее. Следует отметить два наиболее употребительных подхода к решению проблемы замыкания. В первом – феноменологическом, – параметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей экспериментальной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархической совокупности моделей нескольких масштабных уровней и установлении связей между однотипными характеристиками процесса деформирования соседних уровней. Следует отметить, что в этом случае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности.

3. Отсутствие в подавляющем большинстве случаев аналитических решений системы эволюционных и определяющих соотношений, что приводит к необходимости использования численных методов.

Анализируя совместно и преимущества, и недостатки рассматриваемого подхода, можно отметить, что применение данного подхода представляется весьма перспективным для построения моделей материалов, особенно – в свете развития вычислительных технологий.